平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a ρ)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρC ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρD ．)3,2(-=a ρ)9,6(=b ρ2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )A ．a b 21+B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 21- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ⋅≠r r ，且()a a b c a a b⋅=-⋅r r rr r r r ，则向量a r 与c r的夹角为 （ ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(-⊥+,则实数m 为（ ）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（ ）（1）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅； （2）||||||⋅=⋅； （3）⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(⋅⋅=⋅⋅； （5）设,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，b a ,不共线，则b ac a c b )()(⋅-⋅与垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设=，=，=，则⋅+⋅+⋅的值为 （ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则b a ⋅的范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若OB OA ⋅=-5，则S △OAB = （ ） A ．3 B ．23Ｃ．35 Ｄ．23510、若非零向量a 、b 满足||||=-，则 （ ）A. |2||2|b a b ->B. |2||2|b a b -<C. |2||2|b a a ->D. |2||2|b a a -< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、若向量)4,3(-=a ρ，则与a ρ平行的单位向量为________________ ，与a ρ垂直的单位向量为______________________。

12、已知)3,2(=a ρ，)4,3(-=b ρ，则)(b a ρρ-在)(b a ρρ+上的投影等于___________ 。

13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r＝_____．14．设向量a ρ与b ρ的夹角为θ，定义a ρ与b ρ的“向量积”：a ⨯ρ是一个向量，它的模θsin ||||||⋅⋅=⨯b a b a ρρρρ.若)3,1(),1,3(=--=b a ρρ，则=⨯||b a ρρ .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．（本小题满分12分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量⊥，∥，又+=，求OD 。

16．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---u u u r u u u r u u u r．（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||=+OC OA （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若BC AC ⊥，求tan α的值。

18、（本小题满分14分）如图，O ，A ，B 三点不共线，2=，OB OD 3=，设a OA =，b OB =。

（1）试用,表示向量；（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，试证明L ，M ，N 三点共线。

19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-， 又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥u u u r且|||AB OA =u u u r u u u r，求向量OB uuu r ；(2)若向量AC uuu r 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •u u u r u u u v20、（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-r r ，且[0,]2x π∈，求：（1）a b ⋅r r 及||a b +r r ；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+r r r r 的最小值为32-，求实数λ的值。

平面向量测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;)54,53(-- )53,54(;)53,54(-- 12、526-13、 3 14、 2三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15．解： 设=（x ,y ），∵OB OC ⊥，∴0=⋅OB OC ，∴2y – x =0，①又∵∥，=（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。

16、解：（Ⅰ） 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =u u u rQ(2,1),AC x y =--u u u r∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠ （Ⅱ）(3,1),AB =u u u r Q (1,)BC x y =---u u u r，若B ∠为直角，则AB BC ⊥u u u r u u u r， ∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =u u u r u u u r ，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α． 又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π． ⑵)sin ,2(cos αα-=，)2sin ,(cos -=αα， 由⊥，∴0=⋅， 可得21sin cos =+αα， ①∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈，又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α．18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE =x OC +(1-x )OB =2 x a ρ+(1-x )b ，①同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，=y a ρ+3(1-y)，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴=b ρ5354+。

（2）∵2b a +=，103421b a OM +==，232)(21ba +=+=， 10126OM +=-=，102OM +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。

19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=u u u r u u u rQ又222|||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=u u u u r u u u r Q ,得8t =± (24,8)OB ∴=u u u r 或(8,8)OB =--u u u r(2)(sin 8,)AC k t θ=-u u u rAC u u u rQ 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+Q4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==u u ur(8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=u u u r u u u v20、解：（1）33cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-=r r||a b +=r r2|cos |x ===又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x +=r r（2）2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾 ②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ=③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾综上所述，12λ=即为所求。