广东省东莞市第二学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 0tan(390)-的值为（ ）A ．33-B ．33C ．3-D ．3 2.某高级中学共有学生1500人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（ ）高一 高二 高三 人数600500400A ．12，18，15B ．18，12，15C ．18，15，12D ．15，15，153.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．36B ．56C ．91D ．3364.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）A ．只有一次投中B ．两次都不中 C.两次都投中 D ．至少投中一次5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，绿灯持续时间为45秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．310 B ．710C. 38 D ．586.在平行四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，2DE EC =，则BE 等于（ ） A ．13b a - B ．23b a -C. 43b a - D ．13b a +7.某程序框图如图，该程序运行后输出的S 值是（ ）A ．8B ．9 C. 10 D ．11 8.已知角α终边上一点P 的坐标为(,3)a a （0a ≠），则cos sin sin cos αααα-+的值是（ ）A ．2B ．-2 C.12 D ．12- 9.直线10x ky -+=（k R ∈）与圆224220x y x y ++-+=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C. 相离 D ．与k 的值有在10.已知函数()sin()4f x x πωϕ=++（5922ω<<，0ϕπ<<）是偶函数，且(0)()f f π=，则（ ） A ．()f x 在3(,)88ππ上单调递减 B ．()f x 在3(,)88ππ上单调递增C. ()f x 在(0,)4π上单调递增 D ．()f x 在(0,)4π上单调递减 11.已知在ABC ∆中，O 是ABC ∆的垂心，点P 满足：113222OP OA OB OC =++，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比是（ ）A ．23 B ．34 C. 35 D ．1212.若关于x 的不等式21cos 2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．13-B ．13 C. 23D ．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在空间直角坐标系中，已知(3,0,1)A ，(4,2,2)B -，则AB = ．14.下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．15.已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的中心角等于 （弧度）.16.如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为8和6，高为7，圆E 为等腰梯形ABCD 的外接圆，对于平面内两点(,0)P a -，(,0)Q a （0a >），若圆E 上存在点M ，使得0MP MQ •=，则正实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知i ，j 是互相垂直的两个单位向量，3a i j =+，3b i j =--. （1）求a 和b 的夹角；（2）若()a a b λ⊥+，求λ的值.18. 东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年，*x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值.参考公式：最小二乘估计线性回归方程y bx a =+中系数计算公式：^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-19. 某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于155 cm 到195cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：2. （1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；（3）用分层抽样的方法在身高为[170,180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在[175,180]内的概率.20. 函数233()3cossin (0)222xf x x ωωω=+->的部分图象如图所示，,A B 为图象的最高点，C 为图象的最低点，且ABC ∆为正三角形.（1）求()f x 的值域及ω的值；（2）若033()f x =，且021(,)33x ∈-，求01()2f x +的值.21. 已知圆22:4480C x y x y +---=，直线l 过定点(0,1)P ，O 为坐标原点.（1）若圆C 截直线l 的弦长为l 的方程；（2）若直线l 的斜率为k ，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，且8OA OB •>-，求斜率k 的取值范围. 22.已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，1sin tan cos βαβ-=（1）用α表示β；（2）若关于α的方程为sin sin 0m αβ++=，试讨论该方程根的个数及相应实数m 的取值范围.高一数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案ACBCDCBDADAB二、填空题(每小题5分,满分20分) 13. 14 14. 5815. 12 16. [2,8]三、解答题：17. 【解析】（1）因为i ，j 是互相垂直的单位向量，所以0,1,122=⋅==j i j i2332)3(2222=+⋅+=+==j j i i j i a a2323)3(2222=+⋅+=--==j j i i j i b b(3)(3)23a b i j i j ⋅=+⋅--=-设a 与b 的夹角为θ，故232232cos -=⨯-=⋅=ba b a θ 又),0(πθ∈ 故65πθ=（2）由()a a b λ⊥+得0)(=⋅+a b aλ02=⋅+a b a λ，又32)23(22,42-=-⨯⨯=⋅=a b a 故3322=⋅-=ba a λ【解法二】设a 与b 的夹角为θ，则由i ，j 是互相垂直的单位向量，不妨设i ，j 分别为平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，则)3,1(=a，)1,3(--=b132a =+= 312b =+=1(3)3(1)23a b ⋅=⋅-+⋅-=-故232232cos -=⨯-=⋅=ba b a θ 又),0(πθ∈ 故65πθ=（2）由a 与a b λ+垂直得0)(=⋅+a b aλ 02=⋅+a b aλ，又24,23a b a =⋅=-故3322=⋅-=ba a λ18. 【解析】（1）3554321=++++=x ，5.75985.776=++++=y10)35()34()33()32()31()(22222412=-+-+-+-+-=-∑=i ix x7)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31())((51=--+--+--+--+--=--∑=y y x x ii i7.0107)())((ˆ121==---=∑∑==ni ini iix x y yx x b4.537.05.7ˆˆ=⨯-=-=x b y a故线性回归方程为4.57.0ˆ+=x y. （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即0.7 5.413.1x +> 11x ∴>∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.答：该批空调使用年限的最大值为11年. 19. 【解析】（1）第六组与第七组频率的和为：14.0)5008.0506.0504.0504.05016.05008.0(1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为x ，则5.0)170(04.0504.05016.05008.0=-+⨯+⨯+⨯x5.174=x∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2， 第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种 因此所求事件的概率为103． 20. 【解析】(1)1cos 33()3sin 222x f x x ωω+=+- 133(sin )3)223x x x πωωω=+=+()f x ∴的最大值为3，最小值为3- ()f x ∴的值域为[3,3]-ABC ∴∆的高为23ABC ∆为正三角形ABC ∴∆的边长为4 ()f x ∴的周期为424T πω== 2πω∴=(2)0033()3sin()23f x x ππ=+=03sin()235x ππ∴+= 021(,)33x ∈- 0(0,)232x πππ∴+∈ 04cos()235x ππ∴+=00001()3)3[sin()cos cos()sin ]2234234234f x x x x πππππππππ∴+=++=+++3242763(55==21. 【解析】(1)圆C 的标准方程为22(2)(2)16x y -+-=∴圆心为(2,2)C ,半径4r =由弦长为3224(23)2d =-=1当斜率不存在时，直线为0,x =符合题意； 2当斜率存在时，设直线为1(0)y k x -=-即10kx y -+=则221d k ==+ 化简得34k =-∴直线方程为3440x y +-=故直线l 方程为0x =或3440x y +-= (2) 设直线为1(0)y k x -=-即1y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则联立方程2244801x x y y y kx ⎧-+--=⎨=+⎩得22(1)(24)110k x k x +-+-=1212222411,11k x x x x k k+-∴+==++，且224(2)44(1)0k k ∆=+++>恒成立12121212(1)(1)OA OB x x y y x x kx kx ∴⋅=+=+++212122222(1)()1248410111811k x x k x x k k k k k k=+++++-+-=-++=>-++ 22841088k k k ∴-+->-- 即42k > 12k ∴> 22. 【解析】(1)切化弦得sin 1sin cos cos αβαβ-= sin cos cos cos sin αβααβ∴=-sin cos cos sin cos αβαβα∴+=即sin()cos αβα+=(0,),(0,)22ππαβ∈∈ 2παβα∴+=-或2παβα+=+ 22πβα∴=-或2πβ=(舍)(2) 由(1)得sin(2)sin 02m παα-++=即cos2sin 0m αα++=212sin sin 0m αα∴-++= 22sin sin 1m αα∴=-- ,(0,)422πβπαβ=-∈ (0,)4πα∴∈ 令2sin (0,2t α=∈，则2221,(0,2m t t t =--∈ ∴直线y m =与函数2221,y t t t =--∈公共点的个数即方程根的个数 由图像得22m ≥-或98m <-时方程有0个根； 212m -≤<-或98m =-时方程有1个根； 918m -<<-时方程有2个根.。