第二学期末检测 高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}21A x x =-<<，{}0≥=x x B ，则A B =U （ ）A ．{}2->x xB ．{}0≥x xC ．{}10<≤x xD ．{}12<<-x x 2.0000sin 75sin15cos75cos15+的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21D ．233.已知直线01=--+a y ax 与直线021=-y x 平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 4.已知向量()()3,1,2,1=-=b a ，则( )A ．b a ⊥B ．b a // C.()b a a -⊥ D ．()b a a -//5.某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于h km /90的约有( )A ．100辆B ．200辆 C.300辆 D ．400辆 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4 C. 8 D ．16 7.点()0,2关于直线4--=x y 的对称点是（ ）A ．()6,4--B ．()4,6-- C. ()7,5-- D ．()5,7--8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积是（ ）A ．12B ．284+ C.248+ D ．244+9.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点E 在AD 边上，且AE AD 3=，则用向量CA CB ,表示CE 为( )A ．3241+=B ．3294+= C.CA CB CE 3241-= D ．CA CB CE 3294-=10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．231-B ．23 C.434- D ．43 11.已知以下四个结论：①函数x y tan =图像的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2π； ②函数1sin +=x y 的最小正周期为π；③⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的表达式可以改写为()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 267cos π； ④若4=+B A ，则()().2tan 1tan 1=++B A 其中，正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④ C.②③ D ．②④ 12.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f ，在一个周期内图像如图所示，若()()21x f x f =，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈65,12,21ππx x ，21x x ≠，则()=+21x x f ( )A ．3B ．2 C.3- D ．2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x e x x x f x，则()()=-+30f f ．14.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，以这5次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是 ．（填“甲、乙”）15.若直线()42+-=x k y 与圆()4122=-+y x 相切，则实数k = ．16.如图所示，摩天轮的半径为40米，点O 距地面高度为50米，摩天轮做匀速运动，每3分钟转一圈，以点O 为原点，过点O 且平行与地平线的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，设点P 的起始位置在最低点（且在最低点开始时），设在时刻t （分钟）时点P 距地面的高度h （米），则h 与t 的函数关系式()t h = ．在摩天轮旋转一周内，点P 到地面的距离不小于70米的时间长度为 （分钟）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知()()()5,2,1,0,0,1C B A ，求： (Ⅰ)AC +2； （Ⅱ）.cos BAC ∠18. 已知函数().,42sin 2R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=π（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）说明函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,42sin 2π的图像可由正弦曲线x y sin =经过怎样的变化得到； （Ⅲ）若απα,2382=⎪⎭⎫⎝⎛-f 是第二象限的角，求.2sin α 19.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x（吨）为该商品进货量，y（天）为销售天数）：（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图：（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程∧∧∧+=axby；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售天数；参考公式和数据：1221,.ni iiniix y nxyb a y b xx nx∧∧∧==-==--∑∑.241,356,32,48818128181====∑∑∑∑====iiiiiiiiiyxxyx20.如图，在三棱柱111CBAABC-中，底面ABC∆是等边三角形，且1AA⊥平面ABC,D为AB的中点，(Ⅰ) 求证：直线//1BC平面CDA1；(Ⅱ) 若E BB AB ,21==是1BB 的中点，求三棱锥CDE A -1的体积； 21.已知圆心在原点的圆被直线1+=x y 截得的弦长为.14 (Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设动直线()()01≠-=k x k y 与圆C 交于B A ,两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；22.已知函数().2cos 2sin x x x f -= (Ⅰ) 求证：()x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π47；（Ⅱ）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，使得()012=-+k x f 有解，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈85,0πx 时，函数()()()122+-=x mf x f x g 有四个不同零点，求实数m 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:ACDCC 6-10: CACAA 11、12：BA二、填空题13. 1- 14. 甲 15.125 16.（1）()()0,32cos 4050≥-=t t t h π ；（2） 1 三、解答题17.解：（Ⅰ）()()()7,12,5,1,1,1-=+=-=所以，.252=+622==4=⋅cos AB AC BAC AB AC⋅∠===⋅u u u u u r18.解：（Ⅰ）由()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭可知，函数的最小正周期为ππ==22T 令42π+=x u ，则u y sin 2=的增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ, 由224222πππππ+≤+≤-k x k ，解得.,883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 所以函数()x f 的单调递增区间是.8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ （Ⅱ）将x y sin =和图像纵坐标不变， 横坐标为原来的21倍得到x y 2sin =的图像，将x y 2sin =和图像向左平移8π得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像横坐标不变，纵坐标为原来的2倍得到()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 的图像 或，将x y sin =和图像向左平移4π，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 纵坐标不变，横坐标为原来的21得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 图像横坐标不变，纵坐标为原来的2倍得到()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 的图像.（Ⅲ）由()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 知，所以23sin 282==⎪⎭⎫⎝⎛-απαf ，即43sin =α， 又α是第二象限的角，所以413431sin 1cos 22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=αα， 所以839413432cos sin 22sin -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==ααα 19.解：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，(),611986543281=+++++++=x (),4865432181=++++++=y ,356121816436251694812=+++++++=∑=i ix,2418854402415126281=+++++++=∑=i ii yx,684968356468241882812281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=∧i i i i i x x xy y x b ,3411668494-=⨯-=∴∧a ∴回归直线方程为.34116849-=∧x y（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当24=x 时，,173411246849≈-⨯=y 即若一次性买进蔬菜24吨，则预计需要销售约17天.20.解：(Ⅰ)连接1AC 交于点F ，则F 为1AC 的中点，又D 为AB 的中点，所以DF BC //1，又⊄1BC 平面CD A 1，又⊂DF 平面CD A 1，所以//1BC 平面CD A 1.（Ⅱ）三棱锥CDE A -1的体积11113A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅，其中点C 到平面11A ABB 的距离3==CD h ，又23212111212121221=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆DEA S ，所以.233233131111=⨯⨯=⋅==∆--h S V V DE A DE A C CDE A 21.解：（Ⅰ）圆心()0,0到直线1+=x y 的距离21=d ，由圆的性质可得4214222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d r ，所以，圆的方程为422=+y x ；（Ⅱ） 设()()()2211,,,,0,y x B y x A t N ，由()⎩⎨⎧-==+1422x k y y x 得，()04212222=-+-+k x k x k , 所以.14,1222212221+-=+=+k k x x k k x x 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则02211=-+-⇒-=tx yt x y K K BN AN ， 即()()()()021201121212211=+++-⇒=--+--t x x t x x tx x k t x x k()().4021121422222=⇒=+++-+-⇒t t k t k k k 所以当点N 为()0,4时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称； 22.解：（Ⅰ）x x x x x f 2cos 2sin 227cos 227sin 47-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππ 所以，()x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π47（Ⅱ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=42sin 22cos 2sin πx x x x f[]1,142sin 2,22,2242sin ,4,0-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππx x x ()012=-+kx f ，即()[]3,12∈+=x f k （Ⅲ）令()x f t =，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈85,0πx ，所以，(]2,1-∈t ， 函数()()()122+-=x mf x fx g 有四个不同零点等价于()122+-=mt t t h 在()2,0∈t 有两个不的零点由根的分布知识可得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<>∆0200200h h m ，解得:2431<<m .广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2} 5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜07．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣612．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n=S n（n=1，2，3，…）．+1（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【考点】G2：终边相同的角．【分析】与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，作出直线x﹣2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，作出直线x﹣2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4可得，x﹣2y+4＞0，故不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的右下方；故选：D．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP|=5，则cosα==﹣，故选：C．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．5．若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+α）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α是第四象限角，∴cosα==，则cos（+α）=cos cosα﹣sin sinα=﹣•（﹣）=，故选：B．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜0【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据题意，由不等式的性质易得A正确，利用特殊值法分析可得B、C、D错误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a＞|b|，则有|a|＞|b|＞0，则a2＞b2，故A正确；对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；对于C、当a=﹣1，b=1时，满足a≠|b|，但有a2=b2，故C错误；对于D、若a＞b，则a﹣b＞0，故D错误；故选：A．7．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=3sin2x图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：C．8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】9A：向量的三角形法则．【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，∴=+，=+，=+，=+，∵M是平行四边形ABCD对角线的交点，∴=﹣，=﹣，∴+++=+++++++=4，故选：A9．若cos2α=，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2α和cos2α 的值，可得sin4α+cos4α的值．【解答】解：∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴cos2α=，∴sin2α=1﹣cos2α=，则sin4α+cos4α=+=，故选：A．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可．【解答】解：设该三角形的一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则其面积S=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（x＞0）分析可得：当x=2时，S取得最大值，此时S=2；故选：C．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣6【考点】8E：数列的求和．【分析】点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，的a n=2n﹣13，a1=﹣11，=n2﹣12n由二次函数性质，求得S n的最小值【解答】解：∵点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则a n=2n﹣13，a1=﹣11=n2﹣12n∵n∈N+，∴当n=6时，S n取得最小值为﹣36．故选：B12．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】设三个角分别为﹣A，， +A，由正弦定理可得m==，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，可设三个角分别为﹣A，， +A．故m====．又＜A＜，∴＜tanA＜．令t=tanA，且＜t＜，则m=在[，]上是增函数，∴+∞＞m＞2，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为4．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（4，2），=（8，x），∥，∴，解得x=4．故答案为：4．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可知：△＜0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴实数m的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），C（2，﹣1），在△ABC中满足z=2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3．故答案为：3．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】推导出f（x）=sin（2x+）+，由此能求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x==sin（2x+）+，∴f（x）的单调递减区间满足：，k∈Z，∴，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由，得，利用错位相减法能证明S n=．【解答】证明：因为，…所以，…qS n=，…所以（1﹣q）S n=，…当q≠1时，有S n=．…18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值．（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）•（k﹣）=k2•a2﹣=0，由此求得k的值．【解答】解：（1）||=1，||=2，若与的夹角θ=120°，则=1•2•cos120°=﹣1，∴|+|====．（2）∵（k+）⊥（k﹣），∴（k+）•（k﹣）=k2•﹣=k2﹣4=0，∴k=±2．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA．…在△ABC中，C=π﹣A﹣B，所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．…由以上两式得sinA=cosA，即tanA=1，…又A∈（0，π），所以A=．…（2）由于S△ABC=bcsinA=bc，…由a=2，及余弦定理得：4=b2+c2﹣2bccosB=b2+c2﹣，…因为b=c，所以4=2b2﹣b2，即b2==4，…故△ABC的面积S=bc=b2=．…20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）a n+1=S n+1﹣S n=S n，整理为=2．即可证明．（2）由（1）得：=2n，即S n=n•2n．可得b n====﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】（1）证明：因为，a n+1=S n+1﹣S n=S n，所以=2，又a1=2，故数列{}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得：=2n，即S n=n•2n．所以b n====﹣，故数列{b n}的前n项和T n=++…+=1﹣=．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．【解答】解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，由正弦定理得：，∴BC===．在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=3+（）2﹣2••=5，∴AB=．故施工单位应该准备电线长为=5km．22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC ＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC 的最小值为8．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意有sinA=2sinBsinC．…在△ABC中，A=π﹣B﹣C，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．…因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，所以tanB+tanC=2tanBtanC，…所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．…（2）在锐角△ABC中，tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣，…即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，…由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥，…整理得tanAtanBtanC≥8，…当且仅当tanA=4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8．…广东省恵州市高一（下）期末数学试卷一.选择题1．一元二次不等式﹣x2+x+2＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞2}B．{x|x＜﹣2或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜1} 2．已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A．若b∥a，a⊂α，则b∥αB．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β3．在△ABC中，，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）A．B．C．或D．或4．设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1∥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．05．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．96．若{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．114 B．117 C．111 D．1087．如图：正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°8．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．9．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．310．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60°，则（）A．B．C．D．11．由直线y=x+2上的一点向圆（x﹣3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A．4 B．3 C．D．112．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•a n为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A．1024 B．2003 C．2026 D．2048二.填空题13．cos45°sin15°﹣sin45°cos15°的值为．14．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是．15．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为．16．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．三.解答题解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。