8． 以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
()
A ． 10 B． 15 C． 25 解析： 选 C．设内接矩形的长为 x，
D． 45
则宽为
25－ x2， 4
∴
S2＝
x2·(25
－
x2 4 )＝
y，
∴ y′ ＝ 50x－ x3.
令 y′ ＝0，得 x2＝ 50， x＝ 0(舍去 )，
解析： 停车时 v(t)＝ 0，则 27－ 0.9t＝ 0，∴ t＝ 30 s，
s＝ ∫ 300v(t) dt＝ ∫ 300(27－ 0.9t)dt ＝ (27t－ 0.45t2)300＝ 405(m)． 答案： 405 m
13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是
27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
解析： ∵ f ′(x)＝3x2＋2ax＋ b，
－ 2＋ 4＝－ 2a 3
∴ － 2× 4＝ b 3
a＝－ 3， ?
b＝－ 24.
∴ a－ b＝－ 3＋ 24＝ 21. 答案： 21
12．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度
v(t)＝ 27－0.9t( v 单位： m/s， t 单位： s)，则列
车刹车后至停车时的位移为 ________．
成立，函数 f (x)不存在极值点．
7. 已知 f(x) 的导函数 f′ (x)的图象如图所示，那么 f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
解析： 选 A. ∵ x∈ (－ ∞ ，－ 2)时， f′ (x)＜ 0，
∴ f(x)为减函数；
同理 f(x)在 (－ 2,0)上为增函数， (0，＋ ∞ )上为减函数．
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 )
1．函数 f(x)＝(2 πx) 2的导数是 ( ) A ． f′ (x)＝ 4πx B． f′ (x)＝ 4π2x C．f ′ (x)＝ 8π2x D ． f′ (x)＝ 16πx
C． x＝ 2 为 f( x)的极大值点
D． x＝ 2 为 f(x)的极小值点
解析： 选 D ．∵ f(x)＝2x＋ ln x，
∴ f′ (x)＝－ x22＋ 1x，令 f′ (x)＝ 0，
即－
x22＋
1 x
＝
x－ x2
2 ＝
0，
解得 x＝2.
当 x＜ 2 时Байду номын сангаас f′ (x) ＜0；
当 x＞ 2 时， f′ (x) ＞0，
∴ x0＝ 1， y0＝－ 1.
故 P 点坐标为 (1，－ 1)．
4． 下列积分等于 2 的是 ( )
A. 22xdx
0
B.
2
1 (2
x＋
1)dx
0
C． 21dx
0
解析： 选 C．
21dx＝x|20＝ 2.
D．
2
1 2xdx
1
0
5． 设函数
f(x)＝
2＋ x
ln
x，则
(
)
A ． x＝12为 f( x)的极大值点 B ． x＝12为 f( x)的极小值点
3 3 )，(
3，＋ ∞ )， 3
故 a＞0.
10． 若函数 f (x)在 (0，＋∞ ) 上可导，且满足 f( x)＞－ xf′ (x)，则一定有 ( )
A ．函数
f F (x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为增函数
B．函数
f F(x)＝
x x
在 (0，＋∞
)上为减函数
C．函数 G(x)＝ xf(x)在 (0，＋∞ )上为增函数
D．函数 G(x)＝ xf(x)在(0 ，＋∞ )上为减函数 解析： 选 C．设 y＝ xf(x)，则 y′ ＝ xf′ (x)＋ f(x)＞ 0，故 y＝ xf( x)在 (0，＋ ∞ )上递增，故选 C．
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 ) 11．设 x＝－ 2 与 x＝ 4 是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx 的两个极值点， 则常数 a－ b 的值为 ________．
∴ S2max＝625，即 Smax＝ 25.
9． 若函数 y＝ a(x3－ x)的递增区间是 (－∞，－
3 3 )，(
33，＋∞
) ，则
a
的取值范围是
(
)
A ． a＞0 B．－ 1＜a＜ 0 C． a＞ 1
D． 0＜ a＜ 1
解析： 选 A. 依题意
y′＝ a(3x2－ 1)＞ 0 的解集为 (－ ∞ ，－
D ．2 秒或 6 秒
3． 若曲线 f(x)＝ x4－ 2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ＋2y＋ 1＝ 0，则点 P 的坐标为 ( )
A ． (1,1) B． (1，－ 1) C． (－ 1,1)
D． (－ 1，－ 1)
解析： 选 B. ∵f′( x)＝ 4x3－ 2，设 P(x0， y0)， 由题意得 f′ (x0)＝ 4x30－ 2＝ 2，
解析： 选 C．f (x)＝ (2 πx)2＝ 4π2x2 ， ∴ f′ (x)＝ 8π2x.
2． 已知物体的运动方程是
s＝
1 3
t3－
4t
2＋
12t
(t
表示时间，
s 表示位移
)，则瞬时速度为
0 的时
刻是 ( )
A ． 0 秒、 2 秒或 6 秒 B． 2 秒或 16 秒 C． 2 秒、 8 秒或 16 秒 解析： 选 D ．s′ ＝ t2－8t＋ 12＝ 0? t＝ 2 或 t＝ 6.
所以 x＝2 为 f(x) 的极小值点．
6． 对任意的 x∈ R，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 7ax 不存在极值点的充要条件是 (
)
A ． 0≤a≤ 21 B． a＝0 或 a＝ 7 C． a＜ 0 或 a＞21
D． a＝ 0 或 a＝ 21
解析： 选 A. f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋7a，当 Δ＝ 4a2－84a≤ 0，即 0≤ a≤21 时， f′ (x)≥ 0 恒
14．已知函数 g(x) ＝ x 3－ x2(x>0) ，h(x) ＝ex－ x ，p(x) ＝ cos 2x(0<x< π)的导函数分别为 g′ (x) ，
h′ (x) ，p′ (x) ，其零点依次为 x 1，x 2，x 3，则将 x 1， x 2， x3 按从小到大的顺序用 “ <连”接起
________ ．
解析： 设圆柱的底面半径为
R，母线长为
L ，则 V ＝ πR2L ＝ 27π，所以
27 L＝ R2.要使用料
最省，只需使圆柱表面积最小．
S
表＝ πR2＋ 2πRL ＝ πR2＋ 2π·27，令 R
S′表 ＝2πR－5R42π＝ 0，得
R＝ 3，即当 R＝ 3 时， S 表最小．
答案： 3