第一章导数及其应用测试题一、 选择题1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 二、填空题13．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a _________ 。

14．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移是23425341t t t S +-=，那么速度为零的时刻是_______________。

16．=-+-⎰dx x x 4|)3||1(| ____________。

三、解答题（17）（本小题满分10分）已知向量),1(),1,(2t x x x -=+=，若函数x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数，求t 的取值范围。

（18）（本小题满分12分）已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.（19）（本小题满分14分）设a x ≤≤0，求函数x x x x x f 24683)(234+--=的最大值和最小值。

（20）（本小题满分12分）用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？(21) （本小题满分12分）直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.第一章导数及其应用测试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）（13）、 1± （14）、 0=t （16）、 10三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分10分） 解：由题意知：t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，则t x x x f ++-=23)('2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （3分） ∵)(x f 在区间)1,1(-上是增函数，∴0)('>x f即x x t 232->在区间)1,1(-上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分）设x x x g 23)(2-=，则31)31(3)(2--=x x g ，于是有 5)1()(max =-=>g x g t∴当5>t 时，)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 又当5=t 时， 314)31(3523)('22+--=++-=x x x x f ， 在)1,1(-上，有0)('>x f ，即5=t 时，)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 当5<t 时，显然)(x f 在区间)1,1(-上不是增函数∴5≥t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）（18）（本小题满分12分）解：（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得 0,1==b a ┅┅ （3分）∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈Y x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数；若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。

┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),(00y x M ，则03003x x y -= 由)1(3)('200-=x x f 知，切线方程为))(1(30200x x x y y --=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又点)16,0(A 在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得 830-=x ，解得 20-=x所以切点为)2,2(--M ，切线方程为 0169=+-y x ┅┅┅┅┅┅ （12分） （19）（本小题满分14分）解：)2)(1)(1(1224122412)('23--+=+--=x x x x x x x f令0)('=x f ，得：2,1,1321==-=x x x ┅┅┅┅┅┅┅ （2分） 当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：又0)0(=f ，故最小值为0。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）最大值与a 有关：（1）当)1,0(∈a 时，)(x f 在),0(a 上单调递增，故最大值为：a a a a a f 24683)(234+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） （2）由13)(=x f ，即：01324683234=----x x x x ，得： 0)1323()1(22=---x x x ，∴1=x 或31021±=x 又0>x ，∴1=x 或31021+=x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分） ∴当1[∈a ]31021,+时，函数)(x f 的最大值为：13)1(=f ┅┅ （12分）（3）当(∈a ),31021+∞+时，函数)(x f 的最大值为： a a a a a f 24683)(234+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14分） （20）（本小题满分12分）解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则 由222R r h =+，所以 )0(,3131)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==ππππ ∴2231'h R V ππ-=，令0'=V 得 R h 33= ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） 易知：R h 33=是函数V 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。

∴当R h 33=时，容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 把R h 33=代入222R r h =+，得 R r 36= 由r R πα2=得 πα362=即圆心角πα362=时，容器的容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅ （11分） 答：扇形圆心角πα362=时，容器的容积最大。

┅┅┅┅ （12分） (21) （本小题满分12分）解：解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kx y 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为 0=x 和k x -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分） 抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为 61|)3121()(103212=-=-=⎰x x dx x x S ┅┅┅┅┅ （6分） 由题设得dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- ┅┅┅┅┅┅┅ （10分）又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k ┅┅┅┅┅ （12分）。