高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义练习含解析新人教A版选修2208225561.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.曲线y=2x3在点A(1,2)处的切线的斜率等于()A.0B.2C.4D.6解析:因为Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,所以limΔx→0=ΔxΔx=limΔx→0[2(Δx)2+6Δx+6]=6.由导数的几何意义知,曲线y=2x3在点A处的切线的斜率等于6,故选D.答案:D2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是()A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定解析:由题图知f(x)在点A,B处的切线斜率k A,k B满足k A<k B<0.由导数的几何意义,得f'(x A)<f'(x B).答案:B3.已知曲线y=12x2-2上一点x(1,-32),则曲线在点P处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°解析:∵y=12x2-2,∴y'=limΔx→012(x+x x)2-2-(12x2-2)x x=xxxx x→012(Δx)2+x·ΔxΔx=limΔx→0(x+12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴曲线在点x(1,-32)处的切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选B. 答案:B4.若曲线f(x)=x2在点P处的切线斜率等于2,则点P的坐标为()A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18)解析:设点P的坐标为(x0,y0),则k=f'(x0)=limΔx→0f(x0+x x)-f(x0)x x=xxxx x→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(Δx+2·x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案:C5.若函数f(x)在x=-2处的导数f'(-2)=-1,则曲线f(x)在(-2,f(-2))处的切线的倾斜角等于.解析:因为切线的斜率k=f'(-2)=-1,而tan135°=-1,所以切线的倾斜角θ=135°.答案:135°6.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图①②③:则曲线y=f'(x)对应图象是;曲线y=g'(x)对应图象是;曲线y=h'(x)对应图象是.(只填序号)解析:由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f'(x)对应图象②;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h'(x)对应图象①.答案:②③①7.若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.解析:设切点坐标为(x0,1),∵f'(x0)=limΔx→02(x0+x x)2-4(x0+x x)+p-(2x02-4x0+x)x x=xxxx x→02(Δx)2+(4x0-4)ΔxΔx=limΔx→0(2·Δx+4x0-4)=4x0-4,由题意知4x0-4=0,∴x0=1,即切点坐标为(1,1).∴1=2-4+p.∴p=3.答案:38.求证:函数f(x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f'(x)=limΔx→0f(x+x x)-f(x)x x=xxxx x→0(x+Δx+1x+Δx)-(x+1x)Δx=1−1x2<1,∴f(x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.9.已知曲线y=f(x)=1x-x 上的两点P(2,-1),x(x0,12).求:(1)曲线在点P、点Q处的切线的斜率;(2)曲线在点P、点Q处的切线方程.分析:由导数的几何意义,求曲线在点P、点Q处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.解:把P(2,-1)代入y=1x-x ,得t=1,即y=11-x.又点Q在曲线上,所以11-x0=12,解得x0=-1.所以y'=limΔx→0f(x+x x)-f(x)x x=xxxx x→011-(x+Δx)-11-xΔ=limΔx→0Δx[1-(x+Δx)](1-x)Δx=limΔx→01(1-x-Δx)(1-x)=1(1-x)2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2=1(1-2)2=1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=14.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y−12=14[x-(-1)],即x-4y+3=0.能力提升1.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()A.-9B.-3C.9D.15解析:由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,所以切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,所以切线与y轴交点的纵坐标为9.答案:C2.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是()A.12B.1C.32D.2解析:∵(1,f(1))在直线x-2y+1=0上, ∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.又f'(1)=12,∴f(1)+2f'(1)=1+2×12=2.答案:D3.★若经过点(3,0)的直线l与抛物线y=x22的两个交点处的切线相互垂直,则直线l的斜率k 等于()A.−16B.−13C.12D.−12解析:设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x-3), 设直线l与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由{x=x22,x=x(x-3),得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又对y=x22求导有y'=x,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=−16.答案:A4.已知曲线y=f(x)=13x3上一点x(2,83),则f(x)在点P处的切线的斜率为,在点P处的切线方程为.解析:由导数的定义易得f'(x0)=x02,所以f(x)在点x(2,83)处的切线的斜率为4.所以切线方程为y−83=4(x-2),即12x-3y-16=0.答案:412x-3y-16=05.函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象如图所示,则f(2)+f'(2)=.解析:由题意可得f(x)在点P处的切线方程为x4+x4.5=1,其斜率k=−4.54=−98.∵点P(2,f(2))为切点,∴f'(2)=−98,且24+x(2)4.5=1,解得f(2)=94.∴f(2)+f'(2)=98.答案:986.在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线的方程为.解析:由导数的几何意义知,曲线y=x3+3x2+6x-10上每一点处的切线的斜率等于函数f(x)=x3+3x2+6x-10在该点处的导数,因此曲线切线的斜率k=f'(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3,当x=-1时斜率取到最小值3,此时,曲线上的点为(-1,-14),切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案:3x-y-11=07.已知曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16,则a=.解析:因为f'(a)=limΔx→0(a+x x)3-a3x x=3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点坐标为(23a,0).所以三角形的面积为12|a -23a ||x 3|=16,解得a=±1. 答案:±18.★已知函数y=f (x )=x 2x−1(a>0)的图象在x=1处的切线为l ,求切线l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.分析:先求出f (x )在x=1处的切线l 的方程,再求得切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值. 解:∵Δy =(x +Δx )2x−1−x 2x+1=2x ·Δx +(Δx )2x,∴Δx Δx =2x +Δxx. 当Δx 无限趋近于0时,ΔxΔx 趋近于2xx,即f'(x )=2xx .∴f'(1)=2x .又f (1)=1x−1,∴f (x )在x=1处的切线l 的方程是 y −1x +1=2x (x-1).令x=0,得y=−1x−1. 令y=0,得x =x +12.∴切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S =12|-1x -1||x +12|=14(x +1x +2)≥14×(2+2)=1.当且仅当a =1x ,即a=1时,切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为1.。