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第2章 自动控制系统的数学模型


二、一阶惯性环节(一阶滞后环节)
1、数学表达式 :
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件,输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来, 而是有一个延缓,即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路,以总电压ur 为输入,电容上电压uC为输出,试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解(1)确定系统的输入、输出变量,如图已知ur为输入,电 容电压uC为输出; (2)列微分方程组: 由基尔霍夫第二定律有: uR +uC =ur ① 由欧姆定律有: uR=R i ② 1 由电容充放电特性,有:uC= ∫idt ③ c (3)消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节(二阶滞后环节)
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构,这是本章的重点,要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统,应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程;熟悉对控制系统动态性能的 基本要求,即稳、快、准;为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节(纯延迟环节)
表达式: c(t)=r(t-τ) 特点:输出比输入滞后一个时间τ。 实例:延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一,是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数,不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应,还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制理论以自动控制系统为研究对象, 无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进 行综合,都需要建立控制系统的数学模型。 所谓数学模型是指能够描述系统变量之间 关系的数学表达式。工程系统一般都是动态系 统,时域内连续时间集中参数系统的数学模型 是反映系统输入量和输出量之间关系的微分方 程。
描述控制系统输入、输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式,称为系统的数 学模型。常用的数学模型有微分方程、差分 方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间 表达式等。建立合理的数学模型,对于系统
5.传递函数式可表示成
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G ( s ) Kg ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
式 中 p1,p2……pn 为 分 母多项式的根,称为传 递 函 数 的 极 点 ; z1、 z2、… zn 为分子多项式
R(s)
G(s)
C(s)
2.2.2 传递函数的特点
1.作为一种数学模型,传递函数只适用于线性 定常系统,这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的,而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式,它表达了系 统内在的固有特性,只与系统的结构、参数有 关,而与输入量或输入函数的形式无关。
3.传递函数可以是无量纲的,也可以是有量纲的, 视系统的输入、输出量而定,它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位,它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统,有着相 同的传递函数,正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系,对多输入多输出(MIMO)系统,可用传递函数 阵表示。
的分析研究是至关重要的。系统数学模型的
建立,一般采用解析法或实验法。
以数学模型为依据控制系统可以被分 类为连续系统和离散(时间)系统、线性 系统和非线性系统、定常系统和时变系统 等。控制系统的数学模型不是惟一的,根 据不同的建模目的可以建立不同的数学模 型,即使对于相同的建模目的也可以建立 不同形式的数学模型,对于工程上常见的 线性定常连续系统,常用的数学模型有微 分方程和传递函数等 .
duC 由③式有: i=C dt
④ ⑤
duC 将④式代入②式有:uR=RC dt duC 将⑤式代入①式有RC dt
(4)标准化: 令RC=T,即该电路的充放电时间常数,代入⑥式有:
duC T +uC= ur dt
+uC= ur

1、输入量(激励) 2、输出量(响应) 3、被控制量 4、控制量(控制作用) 5、反馈 6、干扰(扰动) 7、自动调节系统
线性系统的微分方程
(1)分析系统工作原理,将系统划分为若干环节, 确定系统和环节的输入、输出变量,每个环节可 考虑列写一个方程; (2)根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、 化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律,列 写各环节的原始方程式,并考虑适当简化和线性 化; (3)将各环节方程式联立,消去中间变量,最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程; (4)将输出变量及各阶导数放在等号左边,将输 入变量及各阶导数放在等号右边,并按降幂排列, 最后将系统归化为具有一定物理意义的形式,成 为标准化微分方程。
则系统的传递函数为
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G (s) R ( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
或写为
C (s) M (s) G (s) R(s) N (s)
传递函数与输入、输出之间的关系,可用图表示。
建立控制系统数学模型的方法有解析法和 实验法两种。解析法也称机理分析法,属于理 论建模的范畴,是通过分析控制系统的工作原 理,利用系统各组成部分所遵循的物理学基本 定律来建立变量之间的关系式。实验法也称实 验辨识法,是通过实验对系统在已知输入信号 作用下的输出响应数据进行测量,利用模型辨 识方法,来建立反映输入量和输出量之间关系 的数学方程。
第2章 线性系统的数学模型
内容提要
实际存在的自动控制系统可以是电气的、 机械的、热力的、化工的,甚至是生物学的、 经济学的等等,然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数 学模型如微分方程,传递函数,方框图,信 号流图的求取以及它们之间的相互关系。
知 识 要 点
线性系统的数学模型,拉普拉斯变换, 传递函数的定义,方框图的简化
2.1.1 微分方程的建立
电气系统中最常见的是由电阻元件、电容元件、 电感元件以及运算放大器等组成的无源或有源电路, 也称电气网络。
例2-1 图2-1所示为典型 的RLC串联电路,以ui(t)为 输入量, uo(t)为输出量。 列写该电路的微分方程。
解:引入回路电流作为中间变量,列写变量关系方程
令 T m/k
称为时间常数;
f /( 2 mk ) 称为阻尼比;
K 1/ k

称为放大系数。
d 2 y (t ) dy (t ) T2 2 T y (t ) K F (t ) 2 dt dt
例2-4考虑图2-4所示液位控制系统,其中水箱水 位H为被控量,忽略次要因素,引起水箱水位变化 的物理量主要是输入流量Q1和负载流量Q2。试确 定该系统,节流阀开度一定时水箱水位与输入流量 的关系方程。
其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出
F1 (t ) ky(t )
dy (t ) F 2 (t ) f dt
式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数
整理且标准化
m d 2 y (t ) f dy (t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k dt k dt k
解:根据物质守恒定律,列出液位系统流体过程的 关系方程 (2-17)
式中,A为容器截面积。当节流阀开度一定时,通过包 含连接导管和容器的液体流量为 (2-18)
式中,K为节流阀的流量系数。 将式(2-18)代入(2-17)中可得水箱水位与进水 流量的关系方程 ——非线性微分方程
一般情况下,描述线性定常系统输入与输 出关系的微分方程为 :
图 2-4 CR串联电路
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
四、积分环节
1、表达式: c(t)=k∫r(t)dt 2、特点:输出量与输入量的积分成比例。 3、实例 uj=常数 ua 例2-6 如图2-7所示,他激 直流电动机转轴角位移θ为 输出,电框电压ua为输入, 加恒定直流激励,并忽略电 枢回路的时间常数(即认为 电枢电流是瞬时增长到稳定 值),有:θ=k∫uadt
2.1数学模型的建立与定义方法
一、定义 系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量,以及内 部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。 二、数学模型的建立 1、方法 (1)解析法:依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化 学定律,列出变量间的数学表达式。 (2)实验方法:通过实验求出系统或元件各变量之间的关 系 2、型式 微分方程、传递函数、结构图、状态变量表达式 3、说明 数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷 考虑。
的根,称为传递函数的
零点;
6.传递函数分母多项式称为特征多项式,记为
D ( s ) a 0 s a1 s
式中c(t)为输出量,r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零,对式 (2-47)取拉氏变换,得
( a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n )C ( s ) (b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm ) R ( s )

d n i c (t ) m d m j r (t ) ai dt ni b j dt m j i 0 j 0
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