1 1 2 4
如图所示
2( s 2) C2 s )] L1 L s 1 s 4 ( s 1)( s 4)
(2) (3) (4)
et 4t e
C1 lim
2( s 2) 2 s 1 s 4 3
C 2 lim
2( s 2) 4 s 4 s1 3
(5)
4 1 2 t 4 4t 2 1 k ( t ) L1 3e 3e 3 s 1 3 s 4 2( s 2) 2s 4 C ( s) G( s) 2 ( s 1)( s 4) s 5 s 4 R( s )
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( S )
C ( s) R( s )
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc( n) an1c( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0r (t )
E0 RC s E0 C 0 lim s 0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 1 s 1 RC s( s ) RC RC
1 t RC
U c ( s)
E0 s
E0 u ( 0) c 1 1 s s RC RC
uc (t ) E0 E0e
uc (0) e

1 t RC
uc (t ) E0 [ E0 uc (0)] e

1 t RC
非线性微分方程的线性化
严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度 的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系 应当用非线性动态方程描述。 但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多， 因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化 为线性方程。这称为非线性方程的线性化。 常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主 要部分（展开注意应当选在工作点附近）。
线性定常微分方程求解
经典法 拉氏变化法 计算机求解
线性定常微分方程求解
例5
R-C 电路计算
c uc ur RCu
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( s 2 5 s 4)C ( s ) ( 2 s 4) R( s ) 5c 4c 2r 4r L1 : c
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或 线性元件 线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。
即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出， 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当 外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用 的倍数。
o x
K1 K 2 K1 i xo x K1 K 2 K1 K 2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 X-Y 记录仪
反馈口： u ur u p 放大器： u K 1 u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 3 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
运动的模态
线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分 方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自 由运动，由微分方程的特征根决定。
1 2 n
如果n阶微分方程的特征根是 , , ，且无重根， 则把函数e t , e t ,e t称为该微分方程所描述运动的模态， 也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入 变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次 微分方程的解则是它们的线性组合，即
o 2 0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m K1 x i K2 x o K1 x m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
K1 K 2 K K1 o 2 xo i x x K1 f K1 K 2
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
• §2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
RCuc (0) E0 RCuc (0) U ( s) U c ( s) r RCs 1 RCs 1 s( RCs 1) RCs 1
E 0 RC u ( 0) C u ( 0) C1 c 0 c 1 1 1 1 s s( s ) s s s RC RC RC RC
例7 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
试求：（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
2 1 c( t ) 1 e t e 4 t 3 3 系统的传递函数； 系统的特征根及相应的模态； 画出对应的零极点图； 求系统的单位脉冲响应； 求系统微分方程；
解 .（ 1）
C ( s)
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
§2 控制系统的数学模型
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系
的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
1 2 n
式中系数是由初始条件决定的一组常数。
运动的模态
如果特征根中有重根，则模态会具有形如 tet , t 2et ,的函 数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成 实函数模态 e at sinbt 与 e at cosbt 的形式，它们是一对共轭 复模态的线性组合。
传递函数的基本概念
§2.3
传 递 函 数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系 统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的 影响 --分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求---综合
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( xi xm ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
1 2 1 1 1 2( s 2) s 3 s 1 3 s 4 s( s 1)( s 4) C ( s) C ( S ) 2( s 2) G( s) s G( s) R( s ) 1s ( s 1)( s 4)
§2.3.3 传递函数的性质(2)
•
•
• •
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数 §2.3.3 传递函数的性质
(1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；
(4) G(s) = L[ k(t) ]；
(5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。
§2.3.3 传递函数的性质(1)
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤
1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；
2 、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理 （或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；
3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程； 4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与 输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为 具有一定物理意义的形式。