第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。

若｛S“｝发散,则级数发散。

创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。

(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。

二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。

(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。

②若»1…发散,则工口也发散。

(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。

②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。

③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。

Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。

②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。

(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。

②若q > 1或q =+oo,则工片发散。

③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。

(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。

②若对任意n > N(八都有甌2Z，则》叫发散。

(4)根式判别法的极限形式设》g为正项级数,且凹呱7 ,则①若1 v 1 ,则》Un收敛。

②苟> 1 ,则工U“发散。

③若1 = 1 ,则无法判断工％的发散性。

积分判别法设伪[1 , +00)上非负减函数，那么正项级数工f ( D )与反常积分「/(.丫阻同敛散。

三、一股项级数n交错级数莱布尼茨判别法若交错级数满足：①｛切｝单调递减；②丘巴耳=o，则级数收敛。

绝对收敛级数及其性质(1 )若级数工UJ收敛，则工％为绝对收敛级数。

(2 )绝对收敛级数的性质①绝对收敛级数一走收敛，但反之却一股不成立,原级数收敛而不绝对收敛的情况，称为条件收敛。

②级数的重排:设级数绝对收敛，且冥和等于S ,则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法(1)阿贝尔判别法若｛“｝为单调有界，且工\订收敛，则级数工收敛。

(2)狄利克雷判别法若｛%｝单调递减且ULO ,工V"的部分和数列有界,则级数收敛。

12.2课后习题详解§1级数的收敛性H证明下列级数的收敛性，并求其和: (1 ) -^― + —-— + —-—十…+F 1・6 6-11 11-16 (5“一4)(5" + 1)(2)時-扣各-*2 -(£-*)-1(3)y---------- ! ------台M(W +1X W +2)(4)工〔缶 + 2 + ] +亦)y2n-l证明:(1)=—+ + + ・・• + ------------------------1-6 611 1116 (5”-4X5/2 + 1)弓(T哙扣…+(€r禽)] = i(l)5 5/2 + 1limS,. = lim-(l-—-—)=-”十宀《＞5 5z? + l 5所以原级数收敛，且和数S = 1/50(2)故原级数的前n项和1 1 n 1 S”=2S；_ 石歹=2(2-戸丁)_(1-歹)° 1 2”—1=3_盯_——Em S… =3,所以原级数收敛且和数S = 3。

证明：若级数工叫发散，c#),则工cu“也发散。

证明：假设工仙收敛,因GO z故级数工(CU n ) /C = IX收敛，这与题设工％发散矛盾r所以若工叫发散r 工CUn 也发散(C=0 ) 0设级数工g与级数工'I都发散，试问工(U n + V n ) 一走发散吗？又若5与％( 数，则能得出什么结论？解：(1)当昭与》V n都发散时%)不一走发散，如驰=》(-i)Mv n = z( -i)n+,两级数均发散J§z ( U n + v n ) =Z0 = O ,即工(u n + v n )收敛。

又如/工叫=工Vn = £l/n f两级数均发散,且工(u n + v n )=》2/n发散。

(2 )当Un与Vn (n=l , 2 ,...)均非负时,则K ( Un + V n )—走发散,这是因为：由工％发散知,存在£ > 0,对任意自然数N ,总存在自然数m (m>N)和p使I Ufn + 1 + Um + 2 + …++ p I —而由q与V" ( n= 1 , 2 f...)非负有(Um + 1 + v m + 1 ) + ( Um + 2 + v m + 2 ) + …+ ( + p + v m + p)I ~ I + 1 + + 2 +…+ + p I + I ' m * 1 + v m + 2 + ・・・ + v m + p I —£由柯西准则知》(U n + V n)发散。

证明：若数列｛aj收敛于a『则级数_%.)二勺»=：证明：级数的前n项和Sn二(aj - a2 ) + ( a2 - a3 ) + …+ ( a n - a n+l ) =aj - a n+i #而电溫-训勞旦歹)血一«5卩"8・=]_」lim s" H lim(aIF t ) M al a3X 8 I K •X(1)爆M (b *&)建。

(2)llle b 憩母•i M (一、pIl/bn£)H 57吊温-(一)爭爭3雪一一炷音三…hm S yn m x e —11 q ) H 8(2 )培磔3郢n R *口Sn " ( 5- I一孑)+ (-Zb2 I 133) + …+ ( 一3n I 一3n + 1) H 5- I l、bn+ 一limS n lim •T-I^-) n I-s —8 ; !-r一b一(一)如 1 n(a4n—(2)M(—lr 亍一2J+ 1 +1)(3) M心？ 2(2二解：（1）(d + n -1)(。

+ ??) a + ” 一1 a+ H&n = 1/ ( a + n - 1 ) r则a〕= 1/a，卿$ =0 .由第4题可得,原式=l/a0(2),、i 2H-r 1 z、—・(??-rl)-rW(7 -―- = (-1)———心+ 1)力(刃+1)=(-1广丄+(-1严丄n n + 1一(7小丄+(-1)小亠n〃 +1=-[(-1广一(・1严亠] n M-rl记对=(-1 ) % r则山=-I f h叫4=0 r由第4题可得，原式二-（-I ）-O=l0 巧一(3)2卄1 _ 1 1(/ +1)((?: + 1)2+1] / +1 (H +1)2+1记》= n2+ 1 ■贝Ulimb=+”/ =2i刀-1由第5题可得，原式=1/2。

应用柯西准则判别下列级数的敛散性。

(1) Zsin2n/2n0—2“・+1(3)Z( -1) %。

⑷X解：（1）任意的自然数P,P k=lp迄k=l|sin2 十sill 1又^± = 0 r 从而任给的£>o ,存在NGZ+ r 当m>N 时,对任意的正整数P ,有2由柯西准则得原级数收敛。

（2 ）当 p 二 1 时，二（〃心1）2 二 1 二 2（也+ 1）2 + （加+ 1）2 一 3由柯西准则知原级数发散。

（3 ）任给的自然数P （不管是奇数还是偶数）,1 ____ 1 ____ 1_ m + 1 〃？ +2 w-31111 《心 1= -------------- + --------------- + …+ （— 1Y --- 加+ 1 w-r2 w + 3 7刃+ 4 m^p1,111/ 心 1 、 = --- 一（ -- 一 --- + ----- T ----- （一 1） -- ） w + 1 加+ 2 加+ 3 w4 m + p故任给的正数£ > 0 ,取N 二[1/s] r 当m > N 时及任意的自然数p f由柯西准则知原级数收敛。

（1）当p = m 时，^2（w +w ）2 加二11^11 =（-1产（加+1）： 2（川 +1）2V , __________________ -<=:J （“?+ «） +（加+ 氐）,M Z K=1_______ 1』（7"+上）+（加+力）：2恥一2忑，对任意正数N，总存在m二N + 1及P二m ,使齢在10由柯西准则知原级数发散。

证明级数》叫收敛的充要条件是：任给正数£ ,存在某正整数N ,对一切n > N 总有I UN + 4 + ] +…+ Un | <£•证明：充分性任给正数£ ,存在正整数N ,对一切n > N ,总有I U N + U N + 1 +…+ Un | <2 /当然对n > m > N 的 m 有 | UN + UN + i + •・・ + 从 | < £。

从而I u m+ 1 +u m*2+ ••- +u n I = I ( «N + u N+l + -- +U n )・(U N + U N + ] + …+) | < | U N + U^+1 + ...+Um I + 丨UN + UN +1 + …+ u n | <2e 由柯西准则知级数工％收敛。

必要性若级数Dn 收敛，由柯西准则知对任给正数£ ,存在自然数M ，当n > m > M 时，I Um+ 1 + Um + 2 + ... + u n I <s ,特别地,取N>Nj + 1 ,则对任意n> N f 有 I UN + UN+1 + …+ Un I <e<>举例说明：若级数IX 对每个固走的P 满足条件lim(g+・・ +““)= 0此级数仍可能不收敛。