排列组合的应用排列组合应用（一）排列解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时要讲究一些基本策略与方法技巧。
1、特殊元素的“优先按排法”。
例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。
按“0”在末尾和不在末尾分为两类。
共A24+A12A13A13=30种。
2、相邻问题有“捆绑法”。
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。
例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。
共A55A33种。
3、不相邻问题有“插空法”。
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。
例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？（分析）先让其余4人站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即A35种。
共A44A35种排法。
4、间接法或淘汰法。
理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。
例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有几种排法？（分析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排列数即可。
共A1010—A55A66排法。
5、合理分类与准确分步。
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A44种；若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A1 3A13A33种；共A44+ A13A13A33种排法。
或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有A33种；②甲在第一位置，乙不在第二位置有A13A33种；③甲不在第一位置，乙在第二位置有A13A33种；即共有A33+ A13A33+ A13A33种不符合要求，则符合要求的有A55—(A33+ A13A33+ A13A33)种。
6、顺序固定问题有“除法”。
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？（分析）先将5人全排列有A 55种排法，而甲、乙之间排法有A 22种排法，而甲在乙前的排法只有一种符合，故符合条件的排法有2255A A 种。
例8、由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？（分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征。
把6个数字分成4组：（1，5）（2，4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数，因而可分成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3作为数码，且末尾数字为偶数即可。
第一类有A 13A 44种，第二类有共有A 12A 44种，共有A 13A 44+ A 12A 44种。
巩固练习1、有3名男生、4名女生、排成一排（1）选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8）男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种不同的排法（答案）（1）A57（2）A13A66（3）A22A55（4）3720（5）A33A44A22（6）A33A55（7）A33A44（8）A44A35（9）3377AA（10）A22A35A332、由数字0、1、2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）多少六位数？（2）多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五位数？（4）多少个被3整除的五位数（5）比240135大的六位数有多少个？允许重复呢？例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？（答案）(1)A15A55(2)312(3)216(4)216(5)407（二）组合组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。
以下是解决组合问题的几种方法1、直接法或间接法例1、在100件产品中有98件合格品，2件次品。
从这100件产品中任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1 件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法？（答案）(1)C39(2)C12C298(3) C12C298+C22C198(或C3100–C398)练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入选（5）A、B、C三人至多二人入选（答案）(1)C29(2)C59(3)C13C49(4)C13C49+C23C39+C33C29( 5)C03C59+ C13C49+ C23C39(或C512–C29)2、分组分配例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析）（1）先分给甲有C26种,再分给乙有C24种,最后为丙有C22种,共C26C24C22=90种（2）问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份，设有x种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有A3 3种,即有xA33= C26C24C22x=3322426ACCC=15种说明：（1）（2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又分配。
那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去A m m呢？比如A、B 、C、D四个元素要均分为两组，先取AB再取CD 为一种即｛ABCD 或先取CD再取AB为另一种即｛CDAB，由于只分组即AB与CD 间是无序的因而只能算一种分法。
因而“分组分配”有如下一般结论： a) 将2n 个元素均分为两组方法数：!22n n n n C C 种。
b) 将3n 个元素均分为三组方法数：!323nnn n n n C C C 种。
c) 将kn 个元素均分为k 组方法数：!....)1(k C C C n nn n k n kn -种。
d)将n 个元素均分为m 组每组r 个（m ?r=n ）方法数：...22m C C C C C rrr r r r n r r n r n --e) 若再将m 组分配给m 个对象，则分配方法有!...22m C C C C C r rr r r r n r r n r n --?m!(3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数共有C 16C 25C 33=60种(4)先要把收分成三组有C 16C 25C 33=60种，再分配给三人有A 33种共有A 33C 16C 25C 33=360种。
练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1本有多少种分法？（答案）22111246A C C C 3、隔板法例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市课外知识竞赛，使代表中每个班至少有1人参加的选法有多少种？（分析）由于12个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数。
12个“0”形成11个空隙，用6个隔板可将其分成7组，有C611种不同的插法,即C611=462种。
练习：10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有多少种。
（答案）C59=1264、插空法例4、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的3盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？（分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有8个空隙，在这8个空隙中安排3盏灯故有C38种。
练习：一排无区别的座位10个，3个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？（答案）C365、递推法例5、一楼梯共10级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？（分析）设上n级楼梯的走法为a n种,则a1=1,a2=2,当n≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有a n﹣1种走法，另一类是最后一步跨二级有a n﹣2种走法,则有a n= a n﹣1+ a n﹣2 由a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a8=34,a9=55,a10=89练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若12步登完共有多少种不同的走法？（分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有{1218+=-yxyx得x=6,y=6，即无论哪种走法都有6个一步一台阶6个一步二台阶的，因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C612=924巩固练习1、从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双的可能性有多少种？2、有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？3、某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该年级的两个班，每班二名有多少不同的方案？4、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个空盒的放法有多少种？5、平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共线，则这几个点能形成多少条直线？多少个三角形？（答案）1、130 2、C2163、C2644、C2 4A34=144 5、C2 n ﹣C2 m+1，C3 n﹣C3 m。