推迟势
王宇，宋炳乾，姚昌园，张兵
摘要：本文讨论了三维无界空间的自由振动，以及受迫振动，推出了推迟势的概念，通过求解电磁场中矢势和标势所满足的达朗贝尔方程，阐明了推迟势的物理概念。

关键词：推迟势，自由振动，受迫振动，矢势，标势
1.三维无界空间的自由波动问题：[1]
M代表空间中任意一点,利用行波法的思想将三维的波动问题化为一维的波动问题.
平均值法:
称为u(M,t)在以为中心，r为半径的球面上的平均值，只是独立变量r，t 的函数，则
对第一个式子两边在球面上积分并乘以常数因子，得
则
在球极坐标系下，
则，即，v(r,t)=r
得：
v(r,t)=
又由v(0,t)=0，
得：
，
则
将两边乘以r在分别对r和t求导得：
相加得
=
故
=
=
上式为泊松公式，给出了三维无界空间波动方程的初值问题的解.
物理意义：泊松公式说明上述定解问题的解在M点t时刻的值是由以M为中心，at为半径的球面上的初始值而确定。

初始扰动限于空间某个区域，d为M点到的最近距离，D为M点与的最大距离，则:
（1）.当at d时，u(M,t)=0,表示扰动的“前锋”尚未到达。

（2）. 当d at D时，u(M,t)0，扰动正经过M点。

（3）. 当at D时，u(M,t)=0，扰动的“阵尾”已经过去了。

2. 三维无界空间的受迫振动
对有零值初始条件的有源空间波动问题
使用冲量定理
又
则
u(M,t)=
令r=a(t-τ)，τ=t-r/a
表示以M为中心，at为半径的球体中的变点，积分在球体中进行，称为推迟势。

物理意义：欲求M点处t时刻的波动问题的解，必须把以M点为球心，at为半径的球体内的源的影响都叠加起来。

M点受到源的影响的时刻t比源发出的时刻t-r/a迟了，故称之为推迟势。

[1]
3.电动力学中的推迟势问题
对给定的电荷分布和电流分布，它在空间中产生电磁势，在洛仑兹规范下，标势和矢势所满足的方程形式相同:
此即达朗贝尔方程，为有源波动方程，电荷产生标势的波动，电流J产生的波动。

现取第一个式子，由于标势方程是线性的，在求解时可以把电荷源分割成许多小区域，只要研究某一小区域内的电荷产生的标势，然后采用叠加办法，即可对各个区域求和，则得总的标势。

设在原点有一点电荷源Q(t)，其电荷密度=，则它在空间产生的标势满足方程[2]
选择球坐标系
除原点外，满足的方程
令，代入上式得,此即一维空间的波动方程，其通
解为，则，
上式右方第一项代表由原点向外发射的球面波，第二项代表向原点汇聚的球面波，由于要研究的问题是在原点随时间变化的点电荷产生的波（辐射问题），只考虑第一项，则。

则f不论取何种形式，都已满足无源空间方
程的解，至于f应取的具体形式，可以由r=0处的方程确定。

在r=0处，由于函数可能的奇异性，只能通过包围原点的一个小球面内的积分来研究，
对以点(r=0)为中心,半径为a的小球体进行积分。

[2]
则
利用及
，得：
由于，上式第二项积分正比于a，第三、四项积分正比于，当a0时，其均为0，故：
则，.这就是电源Q(t)在整个空间
产生的标势，若电荷源不在源点，而是在处，则。

对于一般的电荷分布
只需把它分割成为许多小体积元，其电荷元为，总的标势等于这些电荷元产生标势的叠加。

[4]
对于矢势，由于它的每一分量所满足的方程在形式上与的相同，则
物理意义：
1.代表给定的电荷、电流分布所激发的电磁势，而且是由各体积元内的电荷、电流的叠加
2.t时刻，r处的A与是由较早时刻t’=t-R/c的电流与电荷分布决定的，即早一些时刻在r’
处所发生的电荷、电流的变化要经过R/c时间之后才影响到r处的场，则电磁扰动是以光速c传播的，因此称之为推迟势[2]
参考文献
[1]. 姚端正, 梁家宝《数学物理方法》科学出版社p130-132
[2]. 虞福春, 郑春开《电动力学》北京大学出版社p161-163
[3]. 罗春容, 陆建隆《电动力学》西安交通大学出版社P163-165
[4]. 汪德新, 《电动力学》科学出版社P239-243。