第二章 一元函数微分学一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。

在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。

本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。

第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。

§2-1 导数和微分本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。

导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d ()()d f x f x x '=。

因此只要求出()f x 的导数，由此关系式即可得到它的微分。

所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。

一、重要概念和重要公式1. 导数概念 000000000000()()()lim.()()()lim ()()()lim .x x x f x x f x f x xf x x f x f x xf x x f x f x x -+∆→-∆→+∆→+∆-'=∆+∆-'=∆+∆-'=∆导　数：左导数：，右导数：000()()().f x x f x f x -+''⇔=在处可导2. 导数的几何意义与物理意义 000000000()()(())()()().1()().()f x y f x x f x y f x f x x x y f x x x f x '='-=--=--'为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.3. 微分概念000000()()()0d ()()d ()~d (0)d .()()().y f x x f x y y y f x x o x y f x x y y x y y x f x x f x x '=≠∆''∆=∆+∆=∆∆∆→∆∆若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件4. 幂指函数求导公式()()()[()]()[()ln ()].v x v x u x u x v x u x ''=5. 由参数方程确定的函数的二阶导数22()d d d d d d .d d d d x t y t t t t t t t y t x x x t t t ϕψψψϕϕψϕϕ=()⎧⎨=⎩''⎛⎫⎛⎫()() ⎪ ⎪'''()()⎛⎫()⎝⎭⎝⎭=== ⎪''()()⎝⎭若，则6. 几个重要的n 阶导数公式()()()1()1(sin )sin (cos )cos()1(1)!(1)(1)![ln()].()()n n n n n n n nn n x x x x n n x a x a x a x a ππ-+⎛⎫=+=+ ⎪22⎝⎭---⎛⎫=+= ⎪+++⎝⎭；；；7. Leibnitz 公式()()1(1)()()()().n n n k n k k nn n n n uv u v C u v C u v C uv --'=+++++8. 回答下列问题000000000()()(1)lim ()()2()().||0lim 0.2()().h x h f x h f x h A A f x A hf h f h y x x y hf x f x A →=→+-+'==--'===''=若为常数，能否导出？否例如，，不存在，但若增加条件：存在，则可导出答00000()(2)()0lim (0).()(0)lim ()lim 0()(0)()(0)lim lim .x x x x x f x f x x A f A xf x f f x x xf x f f x f A x x →→→→→'=====⋅=-'===若在处连续，且，能否导出？能因为，故有答00000002(3)()()(a)()()()(b)()()()(c)()()()()(a)()()()().1(b).()()0(0)1(0)x f x g x F x f x g x x G x f x g x x x f x F x f x g x x F x x g x F x f x x f x x g x x f g x =+=⋅=+=-''====若在处，可导，不可导.在处是否可导？在处是否可导？若在处也不可导，问在处是否可导？在处必不可导，否则在处可导不一定如，，在处，，答31(0)()()0(0)0(0)(0)0.(c).()||()||0(0)(0)(0)0.()||()||0(0)(0)(0).G f x x g x x f g G xf x xg x x x f g F f x x g x x x f g F =∞''''=∞=====∞=''==-=''''====，；而，，在处，，，不一定如，，在处，和不存在，但而，，在处，，不存在，也不存在00000(4)()[].u x x u x y f u u y f x x ϕϕϕ=()=()==()若在处不可导，，而在处也不可导，问函数在处是否一定不可导？否如答000000()00[]00.x x u x x x u y f u u u u y f x x ϕϕ≥⎧=()=⎨<⎩=≥⎧==⎨<⎩==()≡=，，在处不可导，且，，在处也不可导，但在处可导二、用导数定义求导数这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数），常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题. 2002002000(0)0()0[]11(A)lim (1cos ).(B)lim (1).11(C)lim (sin ).(D)lim [(2)()]1(1cos )1cos 1(A)lim (1cos )lim (0).1cos 21(B)lim h h h h h 2h h h f f x x f h f e h hf h h f h f h h hf h h f h f h h h f h →→→→+→→→==------'-=⋅=-1设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在.例解00022200(1)1(1)lim (0).1(C)()||(0)(sin )|sin |sin lim lim 0.sin 10(D)()0(0)00(2)()(2)1(1)lim lim h hh h h 22h h h h f e ee f e h f x x f f h h h h h h h h h h x x f x x f x f h f h h h h h→→→→→--'-=⋅=--'=---=⋅=-⎧+≠'==⎨=⎩-+-+==取，则不存在，但，取，它在处不连续，从而不存在，但，0.(B).故选1(0)1(0)lim ()_________________.xx f f f x →'==2设，存在，则例1()11()1001(0)0lim ()lim[1(()1)]()1()(0)limlim (0)lim ().f x f x xxx x x x f xx f x f x f x f x f f x xf x e -⋅⋅-→→→→'→=+---'==∴=解0()()()(1|sin |)()0[](A)(0)0.(B)(0)0.(C)(0)(0)0.(D)(0)(0)0.()()|sin |()()().()()0()0.()(0)(0)lim lim x x f x F x f x x F x x f f f f f f g x f x x F x f x g x f x F x x g x x g x g g x --→=+='==''+=-===+==-'==3设可导函数，，若欲使在处可导，则有设，则因和在点处可导，故在处可导而例解00000()(sin )lim ()(0).()(0)()sin (0)lim lim lim ()(0).(0)(0).(0)0.(B).x x x x f x x f x f xg x g f x xg f x f x xf f f --+++→→+→→→⋅-=-=--⋅'=====-=故即故选231100()(32)||____________.()(1)(2)|(1)(1)|101()(1)limlim(2)|(1)(1)|0.1()1(1)0.()(0)||limlim (1)(x x x x f x x x x x f x x x x x x x f x f x x x x x f x x f f x f x x xx →-→-→→=++-=++-+=---=+-+=+'=-=-=+4的不可导的点的个数为，故只须考虑，，三个点.因故在点处可导且又因例解0||2)|(1)(1)|2lim()0()1.()0 1.x x x x x x f x x f x x f x x x →+-+=====不存在，故在处不可导.同理可证，在处不可导故的不可导的点为及0()(21)(32)(10099)(0)___________.()(0)(0)limlim(21)(32)(10099)99!.x x f x x x x x f f x f f x x x x→→'=---=-'==---=-5若，则例解()50(1sin )3(1sin )8()()()(0)()1()(6(6)).(6)(1)(6)(1).0(1)3(1)0(1)0.(1sin limx f x x f x f x x x x o x x f x x y f x f f f f f x f f f f αα→=+--=+=→==''==→-==+6若是周期为的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式：，其中，且在处可导.求曲线在点，处的切线由周期性得，在已知关系式中令，得，故由已知关系式得例解000)3(1sin )8()lim 8.(1sin )3(1sin )lim(1sin )(1)sin (1sin )(1)sin lim 3sin (sin )(1)3(1)4(1).(1) 2.(6)0,(6) 2.2(6).x x x x f x x o x x xf x f x xf x f x f x f x x x x x f f f f f f y x →→→--+==+--⎡⎤+---=⋅+⋅⋅⎢⎥-⎣⎦'''=+='='===-另一方面故于是所以所求切线方程为2101()()(02)12__________________________.()1()1x x f x f x ax b x a b f x x f x x ⎧-≤≤=⎨+<≤⎩====7，设，若在，内可导，则常数，，这是一个可导性讨论的反问题，由在处可导得在处连续，故例解112111lim ()lim ()(1)0.()1(1)(1)(1)0()0lim lim 112lim 12 2.x x x x x f x f x f a b f x x f f x ax b x x ax aa x ab -+-++→→-+→→→==+=''==--+-=---==-==-，即又在处可导，有，即，也即，从而，220200000()()()0()0[](A).(B).(C).(D).lim ()lim ()0lim ()0lim ()lim ()0(x x x x x x x x f x g x f x x x g x x f x x g x x f x f x f x f x --+-+→→→→→→→⎧>⎪==⎨⎪≤⎩=======8设，其中是有界函数，则在，处极限不存在极限存在，但不连续连续，但不可导可导因，，故，即例解200200)0.(0)lim lim 0()0(0)lim lim ()0.()0.(D).x x x x x x f x g x f xg x xf x x +--+→→-→→='===-'====在处连续又因，故在处可导所以选()|()|[](A)()0()0.(B)()0()0.(C)()0()0.(D)()0()0.()|()|()()|()||()|limlim()()()()lim |x a x a x a f x x a f x x a f a f a f a f a f a f a f a f a g x f x g x g a f x f a x a x af x f a f x f a x a →→→==''===≠''>><<=--=---+=⋅-9设函数在处可导，则在处不可导的充分必要条件为且且且且令，因例解()0()0()()lim ()||()||()|()0()0()()0()()()()lim ()lim ()()()|()|.(B).f a f a x a x ax af x f a f x f a f x f a f a f x a f ag x g a g x g a f a f a x ax ag a g a f x x a '=≠+-→→→+-'⋅+''≠>=--''==---''≠=当，，时，不妨设，则在的某邻域内单调增加，而，因，故，即在处不可导故选32()33220022()3||(0)_______.40().20()00()120()6.lim ()0lim ()(0)0120().60()0.0n x x f x x x x f n x x f x x x f x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x -+→→=+=⎧≥⎪=⎨<⎪⎩=>'=<'=''=='=⎧≥⎪'=⎨<⎪⎩'=>10设，则使存在的最高阶数，，在处连续.当时，当时故，所以，即，，在处连续当时例解0000()240()12.lim ()0lim ()(0)0240().120()0.0()240()12.lim ()lim ()(0) 2.x x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x f x x f x f x f x f n -+-+→→→→''=<''=''''==''=≥⎧''=⎨<⎩''=>'''=<'''=''''''≠'''=，当时故，所以，即，，在处连续当时，当时因故不存在.从而三、复合函数求导复合函数求导时，关键要看清楚中间变量u 的选取。