函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点
x0 称为函数 f (x) 的极值点.
⑵ 驻点 使 f (x) 0 的点 x 称为函数 f (x) 的驻点.
⑶ 极值的必要条件 设函数 f (x) 在 x0 处可导，且在点 x0 处取得极 值，那么 f (x0 ) 0 .
⑷ 极值第一充分条件
设函数 f (x) 在点 x0 连续，在点 x0 的某一去心邻域内的任一点 x 处 可导,当 x 在该邻域内由小增大经过 x0 时，如果
①若在(a,b) 内 f (x) 0 ，则函数 Leabharlann (x) 在[a,b] 上单调增加；
②若在(a,b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在[a,b] 上单调减少.
4 . 函数的极值、极值点与驻点
⑴ 极值的定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点 x(x x0 ) ，都有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的 极大值；如果对于该邻域内任一点 x(x x0) ，都有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极小值.
1
如果函数 y f (x) 满足下列两个条件：
①在闭区间[a,b] 上连续；
②在开区间(a,b) 内可导, 则至少存在一点
(a,b) ， 使 得 f ( ) f (b) f (a) , 或
ba
f (b) f (a) f ( )(b a) .
⑶ 柯西（Cauchy）中值定理
如果函数 f (x) 与 g(x) 满足下列两个条件：
的.
⑶拐点 若连续曲线 y f (x) 上的点 P(x0, y ) 是曲线凹、凸部分的 0
分界点，则称点 P 是曲线 y f (x) 的拐点.
7. 曲线的渐近线
⑴水平渐近线 若当 x (或 x 或 x
)时，有 f (x) b （
b 为常数），则称曲线 y f (x) 有水平渐近线 y b .
4
⑵垂直渐近线 若当 x a (或 x a 或 x a )（ a 为常数）时，
3
设函数 f (x) 在点 x0 处有二阶导数，且 f x0 0 ， f x0 0 ，则 x0 是 函数 f (x) 的极值点， f (x0 ) 为函数 f (x) 的极值，且有
①如果 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在点 x0 处取得极大值； ②如果 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在点 x0 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值
① f (x) 由正变负，那么 x0 是 f (x) 的极大值点， f (x0) 是 f (x) 的极大
值；
② f (x) 由负变正，那么 x 是 f (x) 的极小值点， f (x ) 是 f (x) 的极小
0
0
值；
③ f (x) 不改变符号，那么 x0 不是 f (x) 的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件
例 1 求下列极限
（
1）
lim
x0
x
cot x
x
2
lim[ 1 xx
1 x
ln(1
x)]
0 （42） lim (n x ln x)
①在闭区间[a,b] 上连续； ②在开区间(a,b) 内可导，且 g (x) 0, x (a,b) ,
则在(a,b) 内至少存在一点 ，使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f g
( (
) )
.
2.洛必达法则
如果
① lim f (x) 0, lim g(x) 0 ;
x x0
xx
0
② 函数 f (x) 与 g(x) 在 x0 某个邻域内（点 x0 可除外）可导，且
第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法， 会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数 的图形. 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单 调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单 一元函数的最大值与最小值的应用题. （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle）定理 如果函数 y f (x) 满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b] 上连续; ②在开区间(a,b) 内可导; ③ f (a) f (b) , 则至少存在一点 (a,b),使 f ( ) 0 . ⑵ 拉格朗日（Lagrange）中值定理
有 f (x) ，则称曲线 y f (x) 有垂直渐近线 x a .
⑶斜渐近线
若函数 y
f (x) 满足 a
lim
x
f (x) x
，
b
lim[ f (x) ax]
x
(其
中自变量的变化过程 x 可同时换成 x
或x
)，则称曲线
y f (x) 有斜渐近线 y ax b .
二 、主要解题方法
1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法
在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭
区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区
间的端点处取得.
6. 函数图形的凹、凸与拐点
⑴曲线凹向定义 若在区间(a,b) 内曲线 y f (x) 各点的切线都位
于该曲线的下方，则称此曲线在(a, b) 内是向上凹的（简称上凹，或
称下凸）；若曲线 y f (x) 各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲
线在(a,b) 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.
⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间(a,b) 内具有二阶导数，
① 如果在区间(a,b) 内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是上凹的.
② 如果在区间 (a,b) 内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是下凹
g (x) 0 ；
③
f (x)
lim
x x0
g
(x)
A(A为有限数,也可为 ,
或
) ,则
lim f (x) x x0 g(x)
lim
x
f g
(x) (x)
A.
x
注意 上述定理对于 x
时的
0 0
0
型未定式同样适用,对于
x
x0
或 x 时的 型未定式也有相应的法则.
3. 函数的单调性定理
2
设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，在开区间(a,b) 内可导，则有