第五章 .一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主若是谈论导函数的看法，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律可否是可是描述了一个特定函数的变化率呢？依照变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都拥有同样的变化率变化规律，这实质上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着 Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也能够这么说，即相差任意一个常数的函数拥有同样的导函数。
这样我们就获得了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F（x）+c（ c 为任意常数），对应着一个唯一的函数 f （ x），满足d ( F ( x)c)dx f ( x)，或d (F ( x) c) f ( x)dx 。
换一种看法，上面的过程也能够看作是一种对于函数F（ x）的运算，即微分的运算，获得函数 F（ x）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数 f （ x）的逆运算过程，得到函数 F（ x） +c 自己，这种逆运算就是积分，也许说不定积分，写成d ( F ( x) c) f ( x)dx F ( x) c 。
这里，相对地，我们就把被积函数f（ x）称为原函数F（ x）+c 的导函数，而把原函数F（ x） +c 称为被积函数 f （ x）的不定积分。
因此我们能够把不定积分理解为微分的逆运算，只但是是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无量多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很简单地理解下面的表达式：F ' (x)dx F ( x) c ；d ( f (x)dx) f ( x)dx ；( f (x)dx)' f (x) 。
希望同学们多加领悟这些表面看来很绕的表达式，深切领悟不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（ 1）（ 1）由于我们主若是谈论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而可是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，而且相等。
因此对于分段函数，在分段点处就必定检验这个条件，对于某些特其他函数，在某些特定的点，也会出现左右导数也许缺失，也许不相等的状况，这些都需要仔细加以考据。
（ 2）（ 2）进一步，可导与可微依旧还存在一个差别，即函数在某点可导，导数能够是无量，这种状况下，就不是可微的，即函数在一点及其邻域可微的充要条件是函数在这点存在有限的导数。
（ 3）（ 3）其他一个连续函数的导函数未必是连续的，而对非连续函数作积分运算则是比较复杂的，本课程不作系统谈论。
基本积分公式和基本积分法规。
由于不定积分实质上就是微分运算的逆运算，因此把基本微分公式反过来写，就获得了相应的基本积分公式，我们列出以下：（ 1） k kdxkxC， k 为常数。
y（ 2）aa 1yxx a dxx C , a11a （ 3）exe x dxe x Cy（ 4）1 1dx ln xC y（ 5）xxsin xsin xdxcos x Cyycos xcos xdx sin x Cysec 2xsec 2x dxtgxCy2x 2x dxctgx Ccsccscysec x tgxsecx tgx dxsecx Cycsc x ctgxcsc x ctgx dxcsc x C（ 6）1 1ydxx 21 1 x 2arcsin xCy11dxarctgx +C1x 212x而近似地， 从微分的运算性质， 能够获得相应的积分的运算性质， 其中最为简单的就是积分运算的线性性质：[ af ( x) bg (x)] dx a f ( x)dx b g (x) dx ，实质上对于任意有限个可积函数的线性组合，这个积分运算性质都是成立的。
其他对应的而又比较复杂的积分法规在下面分节再谈论。
换元法。
相应于求导法规中间的链导法，积分法就是所谓换元法。
我们知道， 求导法中间的链导法的核心思想就是变量取代， 同样，换元法的核心思想也是变量取代。
实质上，我们应该已经能够领悟到， 变量取代在函数的解析中间，原来就拥有 相当基本的重要性，而在积分运算中间，我们会看到同样拥有基本的重要性。
我们在进行函数的复合时，已经能够领悟到变量取代拥有两种方式，也许说两个方向，一是减少复合的层次，二是增加复合的层次。
所谓换元法， 也就拥有相应的两种路子， 一是把被积函数的自变量看作新引入的一个函数的自变量， 而这个新引入函数的因变量则能够凑成原来被积函数的自变量， 这样被积函数 实质上就减少了复合的层次，而变得比原来的形式要简单；二是把被积函数的自变量看作一个新引入变量的函数，在被积函数中间代入这个函数，这样就改变了被积函数的自变量， 而且使得被积函数增加了复合层次， 表面看来是增加了被积函数的复杂性，但我们的目的是使得被积函数比较简单进行积分。
形式地说，就是假设被积函数为f （ x ），它的不定积分 f ( x)dx无法直接应用已知的积 分公式来求出， 那么我们能够试一试进行积分变量的取代， 使得经过变量取代而获得一个更容 易进行积分运算的积分式g( u)du，其中变量 u 和变量 x 的关系能够是两种形式，即 u ( x) 和x (u)，前面的形式是在被积函数中凑出新的函数来，后边的形式则是引入额外的新函数。
这两个路子就分别称为换元法一和换元法二，下面我们更仔细地分别进行谈论。
（ 1）换元法一。
设我们是取u( x)，那么就有f ( x)dx =[ g(u)du ]u( x)，代入u( x) 就有g( u)du = g( ( x))d ( x) ，上面等式右边出现了 u 的微分，我们有d ( x)' (x)dx ，代入，我们的最后目的就出现了，即要求f ( x)dx =g ( ( x)) ' ( x)dx ，也就是要求经过适合地取u( x) ，使得f ( x) g( ( x)) '( x) 。
反过来，我们能够这么说，即把被积函数f （x ）凑成上面的形式，从而经过计算比较简单的 g( u)du 而获得比较困难的f ( x)dx。
能够看出， 这里的要点， 就是把原来的被积函数凑出两个因式来，其中一个是某个新函数的导函数， 而另一个因式则能够看作是以这个新函数为自变量的形式，最后经过这个换元过程可否达到了目的，就要看可否确实计算g(u)du 比计算 f ( x)dx 要简单，若是没有达到这个目的，则说明应用换元法无效，必定考虑使用其他方法。
至于如何采用适合的u( x)，并没有必然的规律，主若是依赖我们经过练习来获得经验，加强观察力。
而应用 换元法一的条件是其中所涉及到的 u( x) ， '( x), g (u) 都必定是连续的 。
最后需要注意的一点是，必定把变量x 经过u(x)代入积分结果，从而获得我们真正要求获得的积分f ( x)dx。
（ 2）换元法二。
若是我们是取x(u)，我们就可以进行下面的推导：f ( x)dx f ( (u)) dx[ f ( (u))dxdu ]duu[ f ( (u)) '(u) du]u1( x ) 1( x )这整个推导的最后目的， 就是希望新形式的被积函数f ( (u))'(u)，尽管形式可能变得要复杂一些，但还是要比f （ x ）更简单计算积分。
如何适合地采用 x(u)而达到这个目标，则依旧是属于熟能生巧的范围。
因此学习积分计算，最为重要的就是加强练习。
从换元法二的过程，能够看到它的一个条件就是要求f （ x ）连续，而x(u) 必定具有连续的导数，而且这个导数不能够等于 0。
同样需要注意的一点是， 必定把变量 x 经过u1( x)代入积分结果， 从而获得我们真正要求获得的积分 f ( x)dx 。
下面列出应用换元法所求出的一些常用函数的不定积分， 在后边能够作为公式使用， 不过希望同学们能够自己着手加以推导， 这样才能真切掌握这些公式， 同时也锻炼了自己运用 换元法的能力。
1dxx C2arcsin2a（ 1）a x；1x 2 dx 1arctgxC（ 2） a 2aa；1x 2 dx 1 ln a x C（ 3） a 22a a x；（ 4） secxdx ln secxtgx C ；（ 5） csc xdx ln csc x ctgx C ；（ 6） shxdx chxC ；（ 7） chxdxshx C ；（ 8）a2x 2dx1x a2x2a 2arcsin xC；22 a1dxln xa 2 x 2C（ 9）a 2x 2；1 dx ln xx 2a 2C（ 10）x 2 a 2分部积分法。
相当于乘积的求导法规的就是所谓分部积分法， 我们能够直接从乘积的求导公式来推导出分部积分法。
以下：依照乘积的求导公式(uv)' u' v uv' ，获得u' v (uv)' uv' ，若是采用微分形式，就是vdu d (uv) udv ， 两边取积分，就分别获得vu' dx uvuv' dx和vdu uvudv ，这两个表达式分别代表了两种方式的分部积分法，即也许把原来的积分凑成vu' dx 的形式， 尔后经过计算 v'udx而获得结果； 也许把原来的积分凑成vdu的形式， 尔后经过计算udv而获得结果；自然这里的前提，也许说要使得使用分部积分法有意义，就必定第一考虑到计算v' udx和udv要比原来的积分计算简单。
而所谓分部的意思， 就是把原来的积 分凑成上面的 u 和 v 的组合形式。
如何适合地凑成u 和 v ，使得简化积分过程的目的能够达到。
则必定经过大量的练习，来增加观察力。
有理函数以及能够化成有理函数的函数积分。
对于任意有理函数， 存在一个固定的代数算法， 能够把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。
列出以下：Adx A ln xa C（ 1） xaA k dx A1d ( xa)( x a) ( x a) kA k 1 C （ 2）(k 1) ( x a)Px Qdxx 2px qP 2 pxq)2Q Pparctg2 x pC2 ln( x（ 3）4q p 24q p 2Px Qk dx( x2pxq)Pt (QPp )2dt(t2a 2)kP2tdt (QPp ) 1dt（ 4）2(t 2 a 2)k2(t 2 a 2)kp2t xaq p2 ；dt=dx ； 4 。