0.04 0.36 y=x2 y=log2 x -2.322 -0.737 1.8 2.2 2.6 3.0 8 9 1 0 3.4 1.96 0.485 …
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、幂函数、 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、提出问题 1.在区间（0，+∞）上判断 y=log2 x, y=2x, y=x2 的单调性 在区间（ ， ） 的单调性. 在区间 在区间（ ， ） 在区间（0，+∞）上函数 y=log2 x, y=2x, y=x2均为单调增函数 2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像 列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像. 列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像 y=x2 y=2x 0.2 0.6 1.0 1.4 y x 5 1.149 1.516 2 2.639 y=2x
一个x 当 必有a80 一个 0,当x>x0时，必有 x>xn. 60 70
1.15×1018 1.18×1021 1.21×1024 × × × 3600 4900 6400
… … …
y
1.13×1015 ×
y=2x
对于对数函数 y=log2 x（a>1)和幂函数 （ 和幂函数 y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上,随着 在区间（ ， ） 随着 随着x 在区间 的增大， 增长的越来越慢， 的增大，logax增长的越来越慢，图像 增长的越来越慢 就像是渐渐地与x轴平行一样 尽管在 就像是渐渐地与 轴平行一样.尽管在 轴平行一样 尽管在x 的一定变化范围内， 的一定变化范围内， logax可能会大于 可能会大于
课题引入
国际象棋大师起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋 国际象棋大师起源于古代印度 相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他要什么，发明者说： 的发明者，问他要什么，发明者说： “请在棋盘的第一个格子里放上 颗麦粒，第二个格子里 请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒 请在棋盘的第一个格子里放上 颗麦粒， 放上2颗麦粒 第三个格子里放上4颗麦粒 以此类推， 颗麦粒， 颗麦粒， 放上 颗麦粒，第三个格子里放上 颗麦粒，以此类推，每个 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的 倍，直到第 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求 请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 个格子 请给我足够的麦粒以实现上述要求 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千颗麦粒的质量为40g，据查，目前世界年度小麦 ，据查， 假定千颗麦粒的质量为 产量为6亿吨 但不能满足发明者要求，这就是指数增长. 亿吨， 产量为 亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长
三、练 习 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一 日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1） 天内， 日起的 天内 西红柿市场售价与上市时间的关系用图（ ） 的一条折线表示； 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 （2）的抛物线段表示 ）的抛物线段表示. （1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t); ）写出图（ ）表示的市场售价与时间的函数关系式 写出图（ ）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); 写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 ）认定市场售价减去种植成本为纯收益， 红柿纯收益最大？ 红柿纯收益最大？ P Q 300 300 200 100 o 100 200 300 t
1.10×1012 ×
y=x2
50 100
xn，但由于 ax的增长慢于 n的增长， 但由于log 的增长慢于 的增长， 的增长慢于x 因此总存在一个x 当 必有log 因此总存在一个 0,当x>x0时，必有 ax<xn.
o
x
抽象概括 尽管对数函数 logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数 指数函数 与幂函数 y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度 在区间（ ， 在区间 ）上都是增函数， 不同，而且不在同一个“档次” 随着 的增大， 随着x的增大 不同，而且不在同一个“档次”上.随着 的增大，y=ax（a>1） ） 的 增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速 增长速度越来越快，会超过并远远大于 ） 的增长速度则会越来越慢.因此总会存在一 度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一 的增长速度则会越来越慢 必有log 个x0，当x>x0 时，必有 ax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快 虽然幂函数 增长快 增长， 于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差 增长 甚远，因此指数增长又称“指数爆炸” 甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
二、应用示例 试用计算器来计算2 的近似值. 试用计算器来计算 例1.试用计算器来计算 500的近似值 第一步， 解： 第一步，利用科学计算器算出 第二步，再计算 第二步，再计算2100， 因为 2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030, （ × 所以，我们只需用科学计算器算出1.02410≈1.2677， 所以，我们只需用科学计算器算出 ， 则2100 ≈1.2677×1030； × 第三步，再计算 第三步，再计算2500， 因为 2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150, （ × 所以，我们只需用科学计算器算出 所以，我们只需用科学计算器算出1.26775≈3.2740， ， 从而算出 2500 ≈3.27×10150. × 210=1 024=1.024×103； ×
N 0 = 10; N 1 = 2 × 10 = 20; N 2 = 2 × 20 = 40; N 3 = 2 × 40 = 80;L.
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： Nt+1=R0·Nt , 其中 0为时代净繁殖率 其中R 为时代净繁殖率. 如果种群的R 速率年复一年地增长， 如果种群的 0速率年复一年地增长，则 2 3 N 1 = R0 N 0 , N 2 = R0 N 1 = R0 N 0 , N 3 = R0 N 2 = R0 N 0 L N t = R0t N 0 . 0<R ，种群下降； 当R0>1时，种群上升；R0=1，种群稳定； 0<1，种群下降； 时 种群上升； ，种群稳定； 当R0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡 ，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡.
y 23 19 16
y=2x
y=x2
B
4
A
y=log2 x
1 o 1234
x
x 一般地，10 (n>0),在区间 一般地，对于指数函数 y=a30(a>1)和幂函数 y=xn50 和幂函数 在区间 20 40 x 0 x （0，1 1024 ，无论n比1.07×109 ，尽管在x的一定变化范围 ） 无论 大多少，尽管在 1.13×1015 大多少 × × × × y=2，+∞）上 1.05×106比a大多少 1.10×1012 的一定变化范围 100 400 1600 2500 y=x2 x会小于x 但由于 的增长快于x 的增长， 但由于a 900 内，a0会小于 n,但由于 x的增长快于 n的增长，因此总存在
在自然界中， 例2.在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代的生活 在自然界中 有些种群的世代是隔离的， 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群 假设一个理想种群， 第二年种子萌发产生下一代 假设一个理想种群，其每个个体产 个后代， 个个体， 生2个后代，又假定种群开始有 个个体，到第二代时，种群 个后代 又假定种群开始有10个个体 到第二代时， 个体将上升为20个 以后每代增加1倍 依次为40， ， 个体将上升为 个，以后每代增加 倍，依次为 ，80， 160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情 ， ，试写出计算过程，归纳种群增长模型， 况种群上升，种群稳定，种群灭亡. 况种群上升，种群稳定，种群灭亡 表示t 世代种群的大小， 表示t+1世代种群的大小 世代种群的大小， 解：设Nt 表示 世代种群的大小，Nt+1表示 世代种群的大小，