1设函数0,1
)(,2)(2>--=-=a x a x x g a x x x f （1）当8=a 时，求)(x f 在区间]5,3[上的值域；
（2）若21),2,1](5,3[],5,3[x x i x t i ≠=∈∃∈∀且，使)()(t g x f i =，求实数a 的取值范围
.
2.已知函数a x
a x x f +-
-=4||)(，R a ∈ （1）若1=a ，试判断并用定义证明函数)(x f 在]4,1[上的单调性；
（2）当]4,1[∈x 时，求函数)(x f 的最大值的表达式)(a M ；
（3）是否存在实数a ，使得3)(=x f 有3个不等实根321x x x <<，且它们依次成等差数
列，若存在，求出所有a 的值，若不存在，说明理由.
解：（1）当1=a 时，在[1,4]上单调递增；
证明：当1=a 时，]4,1[∈x ，x
x x f 4)(-= 任取]4,1[,21∈x x ，且21x x <，则
)41)((44)()(2
121221121x x x x x x x x x f x f +-=+--=- 因为21x x <，]4,1[,21∈x x ，故021<-x x ，0412
1>+x x ，所以0)()(21<-x f x f 即)()(21x f x f <,故当1=a 时，f(x)在[1,4]上单调递增.
（2）当1≤a 时，x
x x f 4)(-=， 3)4()(==f a M , 当41<<a 时，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈-∈--=]4,(,4],1[,42)(a x x x a x x x a x f ，
（i ）当],1[a x ∈时，若21<<a ，a
a a f a M 4)()(-== ；若42<≤a ，42)2()(-==a f a M
（ii ）当]4,[a x ∈时，3)4()(==f a M 故当271≤<a ，由34<-a a ，342≤-a ，3)(=a M ，当42
7≤<a 时，42)(-=a a M 当4≥a 时，x
x a x f 42)(--=， 42)2()(-==a f a M 综上：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-≤=27
,4227,3)(a a a a M . (3) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+∞∈-≠-∞∈--=),(,40],,(,42)(a x x x x a x x x a x f , 当41<≤-a 时，34=-x x 有一根为4，342=--x
x a 在0],,(≠-∞x a 上必有两根21x x <，得到42
7<<a 或211-<≤-a ，于是4421=<<x x x ，于是1242x x +=，解得 3231±=a ，因为13231-<-=a 舍去；
当1-<a 时，34=-
x x 有两根为-1和4，故令342=--x
x a 在],(a -∞上有且仅有一根1x ，得到1-<a ， 于是41321=<-=<x x x ，于是142x +=-，得到611-
=a . 综上：32
31+=a 或611-. 3. 已知函数f （x ）=x 2+3x |x -a |，其中a ∈R ． （1）当时，方程f （x ）=b 恰有三个根，求实数b 的取值范围；
（2）当
时，是否存在区间[m ，n ]，使得函数的定义域与值域均为[m ，n ]，若存在请求出所有可能的区间[m ，n ]，若不存在请说明理由；
（3）若a ＞0，函数f （x ）在区间（m ，n ）上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围（用a 表示）．
解：（1）设g （x ）=4x 2-x-b （x≥）
令g′（x ）=8x-1=0，可得x=，
∵，∴g （x ）在[，+∞）上单调增；
g （x ）=-2x 2+x-b （x ＜）
令g′（x ）=-4x+1=0，可得x=，
∵，∴g （x ）在（-∞，）上单调增；g （x ）在[，）上单调减；
要使方程f （x ）=b 恰有三个根，只须g （）=-2（）2+-b=-b ＞0，∴b ＜
g （）=-2（）2+-b=-b ＜0，∴b ＞ ∴；
（2）当m ＜n≤时，f （x ）在区间[m ，n]上单调递增，所以
，所以m=n ，矛盾；
当m≤≤n ＜时，n=f （）=，矛盾； 当m≤＜≤n 时，n≥＞＞f （m ），故f （x ）在区间[m ，n]上的最大值在[，n]上取到
∵f （x ）在[，n]上单调递增，∴n=f （n ），∴n=
又，故，所以f（x）在区间[m，n]上的最小
值在上取到．
又f（x）在区间上单调递增，故m=f（m），∴m=0
故
当时，由x∈，知，，矛盾．
当时，f（x）在区间上单调递减，上单调递增．故，矛盾
当时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，故，得，矛盾．
综上所述，即存在区间满足条件．
（3）当a＞0时，函数的图象如右，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在
处取得；
f（a）=a2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时，所以；
，而在区间（a，+∞）内函数值为时，所以．…..（12分）。