【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、解答题（本题共计 40 小题，每题 3 分，共计120分，）1. 已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+√1+x,x>0.(1)当a=−34时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤√x2a，求a的取值范围.注：e=2.71828⋯为自然对数的底数.2. 如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足：对每个n∈N∗,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=√a n2b n, n∈N∗，证明：c1+c2+⋯+c n<2√n,n∈N∗.4. 如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC，E, F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.5. 设函数f(x)=sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域.6. 已知函数f(x)=√x−ln x．（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．7. 如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．8. 已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n+1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．9. 如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120∘，A 1A =4，C 1C =l ，AB =BC =B 1B =2．(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．10. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)．(1)求sin (α+π)的值；(2)若角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值．11. 设数列满足|a n −a n+12|≤1，n ∈N ∗．（1）求证：|a n |≥2n−1(|a 1|−2)(n ∈N ∗)（2）若|a n |≤(32)n ，n∈N ∗，证明：|a n |≤2，n ∈N ∗．12. 如图，设椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（II ）若任意以点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．13. 已知a ≥3，函数F(x)＝min {2|x −1|, x 2−2ax +4a −2}，其中min (p, q)={p,p ≤q q,p >q ．(Ⅰ)求使得等式F(x)＝x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； (Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a)；(ii)求F(x)在[0, 6]上的最大值M(a)．14. 如图，在三棱台ABC −DEF 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90∘，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B −AD −F 的余弦值．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a cos B ． (1)证明：A =2B ；(2)若△ABC 的面积S =a 24，求角A 的大小．16. 已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1＝a n −a n 2(n ∈N ∗)（1）证明：1≤a nan+1≤2(n ∈N ∗)；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明12(n+2)≤S n n≤12(n+1)(n ∈N ∗)．17. 已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．18. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)，记M(a, b)是|f(x)|在区间[−1, 1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M(a, b)≥2；（2）当a，b满足M(a, b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1−BD−B1的平面角的余弦值．20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4，b2−a2=12c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．21. 设函数f(x)=x3+1x+1，x∈[0, 1]，证明：（1）f(x)≥1−x+x2（2）34<f(x)≤32．22. 如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．求p的值；若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．23. 如图，在三棱台ABC−DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（1）求证：BF⊥平面ACFD；（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．24. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N∗．(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n−n−2|}的前n项和．25. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2a cos B．(1)证明：A=2B；(2)若cos B=23，求cos C的值．26. 设函数f(x)＝x2+ax+b(a, b∈R)．(Ⅰ)当b=a24+1时，求函数f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)的表达式．(Ⅱ)已知函数f(x)在[−1, 1]上存在零点，0≤b−2a≤1，求b的取值范围．27. 如图，已知抛物线C1:y=14x2，圆C2:x2+(y−1)2＝1，过点P(t, 0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(Ⅰ)求点A，B的坐标；(Ⅱ)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．28. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．29. 已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+1＝2a n(n∈N∗)，b1+12b2+13b3+⋯+1nb n＝b n+1−1(n∈N∗)(Ⅰ)求a n与b n；(Ⅱ)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．30. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan(π4+A)=2．(1)求sin2Asin2A+cos2A的值；(2)若B=π4，a=3，求△ABC的面积．31. 已知函数f(x)=x3+3|x−a|(a∈R)．(1)若f(x)在[−1, 1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)−m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)+b]2≤4对x∈[−1, 1]恒成立，求3a+b的取值范围．32. 如图，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(Ⅰ)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a−b．33. 如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90∘，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．(Ⅰ)证明：DE⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B−AD−E的大小．34. 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3...a n=(√2)b n(n∈N∗)．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．(1)求a n与b n；(2)设c n=1a n−1b n(n∈N∗)．记数列{c n}的前n项和为S n．(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有S k≥S n．35. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A−cos2B=√3sin A cos A−√3sin B cos B．(1)求角C的大小；(2)若sin A =45，求△ABC 的面积．36. 已知△ABP 的三个顶点在抛物线C:x 2=4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →=3FM →，（1）若|PF|=3，求点M 的坐标；（2）求△ABP 面积的最大值．37. 已知函数f(x)＝x 3+3|x −a|(a >0)，若f(x)在[−1, 1]上的最小值记为g(a)． (Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)证明：当x ∈[−1, 1]时，恒有f(x)≤g(a)+4．38. 如图，在四棱锥A −BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE =∠BED =90∘，AB =CD =2，DE =BE =1，AC =√2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．39. 已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2⋅S 3＝36． (Ⅰ)求d 及S n ；(Ⅱ)求m ，k(m, k ∈N ∗)的值，使得a m +a m+1+a m+2+...+a m+k ＝65．40. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A−B 2+4sin A sin B =2+√2．(1)求角C 的大小；(2)已知b =4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．。