dˆ
dˆ 2
dx
d 2x
1 线性算符
微分算符
如果算符满足 Aˆ (af bg) aAˆ f bAˆ g
则为线性算符。
2 厄米算符
iGˆj d jGˆ i*d
量子力学中的算符都是线性厄米算符
3 算符运算 加法（减法）；乘法（除法）；相等
Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ
G (r)Gˆ (r)d (r) (r)d
3）若ψ (r)未知， 可通过解算符的本征方程 求本征函数。
三 、微观体系的运动状态满足薛定谔方程 （一） 含时薛定谔方程：
Hˆ(q,t) i (q,t) h
t
2
2 2(q,t) V (q)(q,t) i (q,t)
•│ψ (r1)│2 ： │ψ (r2)│2 = │cψ (r1)│2 ： │cψ (r2)│2 3. 归一化 ψ(r) 是未归一化的波函数
令 ψ’(r)=Kψ (r)为归一化波函数，K 为归一化常数 ∫│ψ’(r)│2 dτ=1
1 = ∫ K*ψ*(r) Kψ (r) dτ =K2 ∫│ψ (r)│2 dτ
│Ψ(r,t)│2 代表粒子在空间某点的几率密度
│Ψ(r,t)│2 dτ 代表粒子在dτ体积元内出现 的几率
∫v│Ψ(r,t)│2 dτ代表粒子在区域v内出现 的几率 ∫│Ψ(r,t)│2 dτ代表粒子在全部空间内出现 的几率
2 定态和定态波函数
粒子在空间某点出现的几率密度 不随时间改变，称为定态。
n
ci i i 1
五 微观粒子除作空间运动之外 还作自旋运动
第二章 讲解 空间运动 自旋运动
(a) 1s和2s态的叠加 (b) 1s和2p轨道态的叠加
在光电效应实验中，光电子动能可用一遏 止电压来测量，与电子电量的乘积即为光 电子动能。用波长200nm的光照射金属钨时， 需要1.68V的电压遏止光电子发射；用波长 150nm的光照射时，则需要3.74V的电压遏 止光电子发射。试求钨的逸出功并确定普 朗克常数。


2
2
2m
（二）力学量算符方程
1．能量方程----薛定谔方程


2
2
2m
Vˆ V (r)
Hˆ 2 2 V (r) 2m
Hˆ (r) E (r)
2 2 (r) V (r) (r) E (r)
2m
2 算符方程

A
f
x

g
x,
第二节 量子力学基本原理
一、实物微粒的运动状态可 用一波函数Ψ(r,t)来描述。
（一） 波函数Ψ(r,t) 波函数的Born几率解释
大量电子： （1）衍射强度大的地方出现的电子多 （2）衍射强度小的地方出现的电子少
单个电子： （1）衍射强度大的地方电子出现的机会多 （2）衍射强度小的地方电子出现的机会少
2m
t
（二 ） 非含时薛定谔方程： （重点）
Hˆ (q) E (q)
2 2 (q) V (q) (q) E (q)
2m
四、态的叠加原理
波的可叠加性
若： ψ1(r) 、ψ2(r) ····ψn(r)是体系的可能状 态，则： ψ (r) = c1ψ1(r) + c2ψ2(r) +···cnψn(r) 也是体 系一可能状态。
Cˆ Aˆ[Bˆ] Cˆ Aˆ Bˆ
Cˆf Aˆ f Cˆ Aˆ
运算规则：满足结合律不满足交换律
Cˆ ( Aˆ Bˆ) (CˆAˆ)Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 不可对易算符
Aˆ Bˆ BˆAˆ 可对易算符
4 力学量算符化规则 1） 力学量——量子力学中算符
Q → Qˆ
Ψ(r,t)= ψ (r) f(t) ψ(r)被称作定态波函数
（二）ψ (r)的性质
1．品优函数（合格波函数）
1）单值 (几率密度要求)
2）连续，且二阶导数存在 ( Schrödinger 方程要求)
3）平方可积，收敛有限cψ (r)描述同 一态 。
作业：教材 p35–14，15，16
波函数e-x(0≤x≤)是否是合格波函数,它归一 化了吗？如未归一化，求归一化常数。
Pˆ 2 (i )2 (i )2 (i )2
x
y
z
2 ( 2

2

2 )
x 2 x 2 z 2

2 2 2 2
( )
2m x2 y 2 z 2
2 2 2 2 x2 y 2 z 2

A f x af x
后者为算符 Aˆ 的本征方程 f(x) -- 算符 Aˆ 的本征函数(本征态） a-- 算符 Aˆ 的本征函数f(x)的本征值
3 力学量的本征值和平均值
1） 若ψ (r)为 Qˆ 的本征态，相当于对本征态 的一次力学量Q测量。
Qˆ (r) q (r)
2）若ψ（r)为 Qˆ的非本征态，相当于对非本征 态求力学量Q的平均值。
K
1
(r) 2 d

归一化公式，取正
二 微观体系每一可测物理量都对应一 线性厄米算符
（一） 算符 对函数进行某种运算的符号
d/dx [cos(kx)]=-ksin(x), d2/dx2[cos(kx)]=(d/dx)2[cos(kx)]
= -k2cos(kx)
一个运算符号 Aˆ 作用到一函数 f(x)上，如果 得到一新函数g，那么就称该运算符号 Aˆ 为 算符。
约定： 时间和坐标算符是其自身，即
tˆ t xˆ x yˆ y zˆ z
动量算符定义为
Pˆx

i x
Pˆy

i y
Pˆz

i z
2） 力学量算符化规则
Q(r, P) → Qˆ (rˆ, pˆ )
写出动能T的算符 Tˆ 的具体形式。
解：质量为m速度为v的物体动能 T=1/2*mv2=p2/2m p2=px2+py2+pz2=px px+py py+pz pz