有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解
有理数的乘方及混合运算（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
(power )．
即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个
.在n a 中，a 叫做底数， n 叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即
． 要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符
号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1. 计算：
（1）44333--44；；（-）；（-3）
（2）33
2(2)33
--3322；（）；（-）；33 【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81；
-3 4＝-（3×3×3×3）＝-81； 4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-⨯-⨯-⨯-=；
4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--⨯-⨯-⨯-=- (2)322228333⨯⨯==； 322228()()()()333327
=⨯⨯=； 322228()()()()333327
-=-⨯-⨯-=-；
3(2)(2)(2)(2)883333
--⨯-⨯---=-=-= 【总结升华】注意()n a -与n a -的意义的区别．22()n n a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）．
举一反三：
【变式1】比较(-5)3与-53的异同．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．
【变式2】（2015•杭州模拟）若n 为正整数，（﹣1）2n =（ ）
A ．1
B ． ﹣1
C ． 2n
D ．不确定
【答案】A ．
因为n 为正整数，2n 一定是偶数，所以（﹣1）2n =1.
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，5
53⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-(-2)2010 【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；5
53⎛⎫ ⎪⎝⎭
运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】当n 为奇数时，()()()1111144
n n n n ++--+--= ．
【答案】0
类型三、有理数的混合运算 3.计算： （1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214) （3）3
112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13
（2） [73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式1
1221111[(2)]82338324
=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5
1257242412516523
13960561251204040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=
÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++= 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】 【变式】计算：（1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33
（2）()⎡⎤⎣
⎦341-1-×2--36 （3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238
（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)
【答案】（1）原式 或原式=（1-1+
1123⨯）（2-9）()1=×-76
（2）原式()=⎡⎤⎣⎦1-1-×2--276=1-1-×296=35-6
(3) 原式=4111(+-)×(-24)-1-8384
=-32-3+66-9=22 (4) 原式=11-+|-8-3|-0.0010.04
=-1000-25+11=-1014 4.计算：20112012(2)2-+
【答案与解析】逆用分配律可得：
2011201220112012201120112011(2)2222(12)122-+=-+=-+=⋅=
()7651-⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=()=1×-767=-67=-6
【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有
212222121222;222n n n n n n +---=-=
举一反三：
【变式1】计算：201918171643222222...2222---------
【答案】原式
=191817164321817164322222...2222222...2222--------=-------
2...222==-=
【变式2】计算：7734()()43
-⨯- 【答案】7773434()()[()()]14343
-⨯-=-⨯-= 类型四、探索规律
5. （2015•滕州市校级二模）求1+2+22+23+…+22013的值，可令
S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+…+22014，因此2S ﹣S=22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014= ．
【答案】
解：设S=1+5+52+53+ (52014)
则5S=5+52+53+ (52015)
5S ﹣S=（5+52+53+…+52015）﹣（1+5+52+53+…+52014）=52015﹣1，
所以，S=．
【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52014，表示出5S=5+52+53+…+52015，然后相减求出S 即可．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】 (1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-
3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的1
3，即1
33-⨯，21
(3)3-⨯，
31(3)3-⨯，41
(3)3-⨯，…；
(3)每行数中的第10个数的和是：
1010101
(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。