专题09 解析几何第二十四讲 抛物线2019年1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．82.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.2015-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ．12 B ．1 C ．32D ．23．（2015陕西）已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．6．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 9．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．10．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．11．（2016年全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C于点H ． （I ）求||||OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．12．（2016年全国III 卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．13．（2016年浙江）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．14．（2015浙江）如图，已知抛物线1C ：214y x =，圆2C ：22(1)1x y +-=，过点(,0)(>0)P t t 作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，,A B 为切点．（Ⅰ）求点,A B 的坐标； （Ⅱ）求PAB ∆的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．15．（2015福建）已知点F 为抛物线:E 22y px =（0p >）的焦点，点()2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线G Α相切的圆，必与直线G Β相切．专题09 解析几何第二十四讲 抛物线答案部分2019年1.【解析】由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ．2.【解析】（I ）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）.3.【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r 22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.2015-2018年1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ． 3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12px =-=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)． 4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切， 所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <， 即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．5．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)．6．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p = 7．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．8．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是． 9．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x =，解得32x =，于是(2,1)M ． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 10．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。