利用向量解决空间角问题一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、课型及课时安排课型：高三首轮复习专题课课时：一节课五、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价六、教学手段：借助多媒体辅助教学七、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 前面我们学习了立几中的空间角问题，请问空间角包括几种类型？求解的方法有几步？ 两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角的平面角。
分三步：作——证——求复习空间角概念及求法为新课做准备 讲评作业：(1) 求二面角M-BC-D 的平面角的正切值；(2) 求CN 与平面ABCD 所成角的正切值； (3) 求CN 与BD 所成角的余弦值； (4) 求平面SBC 与SDC 所成角的正弦值 1、学生求解（略）2、方法归纳：求空间角的主要方法是通过平移转化法作出所成角,然后利用三角形边角关系求解以简单的练习题回顾空间角的三种类型在解题方法上注重引导学生并通过问题让学生对所用知识有个较为详细的回顾，基于时间的问题板演省略 提出问题：如何用空间向量来求解空间角？多媒体演示两异面直线夹角与向量夹角的区别和联系，得出结论：分别在直线n m ,上取定向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则.||||||cos b a b a⋅⋅=θ教师板演：（板演过程间后面附页）通过讨论、分析总结得出用空间向量求线线角方法，同时强调两者之间的区别和联系，培养学生严谨的学习习惯。
ABCD 6SA ABCD SA=8,M SA M BC SD N.⊥如图所示，四边形是边长为的正方形，平面，是的中点，过和的平面交于图11:Rt ABC ABC ∠中，现将沿着平面∆法向量平移到111、的中点AC 11与所成的角的余弦值BD AF 1C 题型一：线线角学生练习（简书）(5,2,4),=AM 1(0,8,=AD 10＝AM A D ⇒A (0,8,0),D (5,2,4)M 讲练结合使得知识能够及时巩固，同时通过练习题第（2）小问提出线面角的空间向量法，这样的设计符合学生的认知规律直线L 与平面α所成的角 在L 上取定，求平面α的法向量n （如图2所示），再求||||cos n AB⋅=θ则θπβ-=2为所求的角.教师板演过程（见附页）通过教师的板书使学生对证明、求解题的过程书写有个很规范的标准，目的使学生即要会做又要不失分。
明确直线方向向量与平面法向量所成角与线面角的关系图2学生练习，求出答案，点评对错讲练结合让学生自己动手分析问题解决问题更能激发学生学习的兴趣。
有助于学生对知识的掌握二面角方法一：构造二面角βα--l的两个半平面βα、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图3所示），则①若二面角βα--l是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即cos2121=θ②若二面角βα--l是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角，即cos2121=θ方法二：在二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平观察、分析、理解用向量求二面角的方法和依据通过数形结合，分类讨论分析使学生掌握用法向量求二面角时不要忽略对二面角大小的判断图3甲面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 .||||cos 2121n n ⋅=θ（教师分析）此题所求的二面角一个很大的问题就是棱没法画出因此用普通方法求解存在很大的问题。
那应该怎么办呢？ 那么如何建立空间直角坐标系呢？ 很好，那你试试看。
教师点评：本题中二面角的两个面学生思考后回答：老师板演解题过程（过程见附页）精兵训练：如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。
（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ； （Ⅱ）若SD ⊥平面P AC ，求二面角通过此题主要是培养学生灵活运用所学知识解题能力的迁移通过情意原理和活动原理增加了师生间的交流使这堂课变得生动活泼并使学生充分掌握化B C D Sαβ1n 2n lα1n 2n l β图4BA3,,11,,2.A ABCD SA AB BC AD SCD SBA ∠⊥====0例A B C D 是一直角梯形，A B C =90S 平面求面与面所成二面角的余弦值只给出了一个公共点，而没有给出其棱，因此一般来说首要的目标是找出棱，而此时棱的寻找是一难点，利用空间向量可以避免这个难点，但需要大家把空间直角坐标系建好、点的坐标写准确、计算要细心 P-AC-D 的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC 。
若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。
归和转化的思想课时小结异面直线所成角：,<>CD AB |直线与平面所成角：,<>n AB |12,|<>n n 12,|<>n n αB n 1n 2n培养学生回顾、总结的能力和意识，彻底完成今天的教学目标八、教学过程设计说明1、这是一节用空间向量求解空间角的专题课，基于学生对空间角的概念和基本的求解方法有一定的基础，所以本节课先从空间各种角的概念、相关图形及取值范围进行复习，再通过一个相对比较综合的题目对普通方法求所有的空间角给你巩固，为新课做好准备。
2、整个教学过程采用循序渐进的原则，使学生能更好地掌握所学知识。
3、教学过程中充分体现学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，以达到良好的教学效果。
九、作业：课时练习卷：空间角与距离（283——284）十、板书设计附页：与所成角的余弦值为x1,0,1),(2D 11(2AF ∴=-11(,,1)22=-BD 11,<>AF BD 1111||||=AF BD AF BD -=AF 10题型二：线面角(0,8,0),=AD 1(0,8,=AD 1,<>=AD A D 25.D AM ⊥1N .A D AM ∴向量为平面的一个法向量3ABCD ABC ,A ⊥0例是一直角梯形，=90S 平面x 11(1,,0),(0,,1)22=-=-CD SD 1,0),1D ,0),2(0,S 11(0,2==SBA n AD 易知面的法向量2(,),=n x y 的法向量22,,⊥⊥n CD n SD 由得：02-=⎪⎩z 22⎪=⎪⎩y z 2(1,2,1)=n 任取1212126,3||||<>==n n n n n n 63即所求二面角得余弦值是精兵训练：（Ⅰ）连接BD ,设,AC BD 交与O ，由题意，SO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，,,OB OC OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立直角坐标系如D图，设底面边长为a ，则2SO =于是(0,0,)2S a ，(,0,0)2D a -，(0,,0)2C a ，(0,,0)2OC =,(,0,)22SD a =--0,OC SD ⋅=所以OC SD ⊥,从而AC SD ⊥(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，平面PAC 的一个法向量2(,0,)22DS a =平面DAC 的一个法向量)OS =,设所求二面角为θ， 则3cos ||||DS OS DS OS θ⋅==，30θ=，即二面角P-AC-D 的大小是30 （Ⅲ）在SC 上存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ，由（Ⅱ）知，DS 为平面PAC 的一个发向量，(0,)CS =设CE tCS =，则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-- 103BE DS t ⋅=⇔=，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥而BE 不在平面PAC 内，所以BE ∥平面PAC。