利用空间向量求空间角-教案
利用空间向量求空间角
备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬
授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．
二、命题趋势：
在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；
情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标
系，方向向量，法向量的魅力.
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
（一）空间角公式
1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，
m
的方向向量分别为a ,b ,异面直线l ，m 所成的角
为θ，则cos cos
,a b θ==
a b a b
⋅.
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==
a n
a n
⋅.
α
m
b
θ
a
l
3、面面角公式：设
1
n，2n分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则
12
,n n
θ=或12,n n
θπ
=-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中12
12
12
cos,
n n
n n
n n
⋅
=.
（二）典例分析
如图，已知：在直角梯形OABC中，//
OA BC，90
AOC
∠=，SO⊥面OABC，且1,2
OS OC BC OA
====.求：
（1）异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
（2）OS与面SAB所成角α的正弦值；
（3）二面角B AS O
--的余弦值.
α
θ
O
O
A
B
C
S
n
a
解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，
(1,1,0)
B ，(0,1,0)
C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-，(1,1,0)
AB =-，(1,1,0)OB =，(0,0,1)OS =，
（1）10
cos ,52
SA OB SA OB SA OB
⋅=
=
=⋅，
所以异面直线SA 和OB 10
.
（2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =， 则
0,0,
n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,
20.
x y x z -+=⎧⎨
-=⎩
取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =，
6
sin cos ,16
OS n OS n OS n
α⋅∴==
=
=⨯（3）由（2）知平面SAB 的法向量1
(1,1,2)n =， 又OC ⊥
平面AOS ，OC ∴是平面AOS 的法向量，
令2(0,1
,0)n
OC ==，则有1212126
cos
,61n n n n n n ⋅=
=
=⨯∴二面角B AS O --的余弦值为
6
6
（三）巩固练习
1、在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中，2AB =，1
1BC AA ==，点E 、
F
分别1
1
A C ，1
AD 的中点，求：
（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）
1
1
D C 与平面1
1
A BC 所成角的正弦值；
（3）平面1
1
A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦
值.
解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1
DD ，为
x
轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz
-，由于2AB =，1
1BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，
1
(,1,1)2E ，11
(,0,)22
F ，1
(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，1
(0,2,1)C ，1
(0,0,1)D ，则1
(0,1,)
2
EF =--，
(0,2,0)
DC =，
11(1
,2,0)AC =-，
1(1,0,1)
BC =-，
11(0,2,0)
DC =.
（1）5cos
,5
EF DC EF DC EF DC
⋅=
=-
∴异面直线EF 和CD 所成的角余弦值为255；
（2）设平面1
1
A BC 的法向量(,,)n x y z =，则有
则
1110,0,
n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,
0.
x y x z -+=⎧⎨
-+=⎩
令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =， 又设1
1
D C 与平面1
1
A BC 所成的角为θ，
则11111121sin cos
,233
D C n D C n D C n
θ⋅==
=
=⨯.
（3）由（2）知平面1
1
A BC 的法向量1
(2,1,2)
n
=，
又1DD ⊥
平面ABCD ，1
DD ∴是平面ABCD 的法向量，
令2
1(0,0,1)
n
DD ==，则121212
22cos
,313
n n n n n n ⋅=
=
=⨯.
故所成的锐二面角的余弦值为23
. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，3CD =，1AD =
，PO 垂直于平面ABCD 于O ，
O
为AC 的中点，1PO =，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD =3，AC =2，
所以AD ⊥CD ，∠DAC =π3， ∴AD ∥BC ．
(000)
A ，，，(
310)
B -，，，(
310)
C ，，，(010)
D ，，，
3102O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
3112P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，， 则(310)
AB =-，，，
3112CP ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，
∴2
cos ||||22
AB CP AB CP AB CP 〈〉===-⨯⨯，， ∴异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为2．
（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1
n =(x 1，y 1，z 1)，
可得
11111
31
0230x y z x y ⎧++=⎪
⎪-=⎩，，
令1
1x =，则1
(133)
n =，，，
又
311(300)2DP DC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，，，，
设平面PCD 法向量为2
222()
n x y z =，，，
可得2222
31
0230y z x ⎧-+=⎪
⎪=⎩，，
令2
1
y
=，则2
n =1012⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，，则 121212105
cos =
=||||n n n n n n 〈〉，．
∴平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦105
．
（四）课堂小结
1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．
2．合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即
坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范]
1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
（五）课后作业
三维设计——课时跟踪检测（四十八）。