湖北省宜昌市第二中学2021-2022高二数学10月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列1，，3，，，则5在这个数列中的项数为A. 5B. 6C. 7D. 82.已知等差数列中，，则的值为( )A. 15B. 17C. 36D. 643.若直线过点，则此直线的倾斜角为( )A. B. C. D.4.数列的通项公式，它的前n项和为则A. 9B. 10C. 99D. 1005.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A. 1B. 2C. 4D. 66.已知数列的前n项和为，则( )A. B. C. D.7.如图，直线、、的斜率分别为、、，则必有A.B.C.D.8.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里( )A. 3B. 4C. 5D. 69.“”是“直线与直线相互垂直”的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件10.已知等差数列满足，则n的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1111.已知等比数列中的各项都是正数，且成等差数列，则A. B. C. D.12.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2021项的和为A. 672B. 673C. 1346D. 2021二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列的前n项和分别为，且，则______ ．14.已知三个数，1，成等差数列；又三个数，1，成等比数列，则值为______．15.等比数列共有20项，其中前四项的积是，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘积是______ ．16.若数列满足，则称数列为调和数列。

已知数列为调和数列，且，则___________________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.本题10分等差数列的前n项和为且．求的通项公式；求满足不等式的n的值．18.本题12分已知直线经过点，直线经过点．若，求a的值；若，求a的值．19.本题12分等比数列中，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的前项和．20.本题12分已知数列满足，且．证明：数列是等差数列；设数列，求数列的前n项和．21.本题12分已知等差数列和等比数列且是和的等比中项．Ⅰ求数列、的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．22.本题12分已知数列的前n项和，点在函数的图象上求的通项公式；设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知数列1,, 3,,,则5在这个数列中的项数为A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的递推关系,属于基础题．【解答】解：由1,, 3,,,得,令,解得,故选C．24.已知等差数列中,,,则的值为( )A. 15B. 17C. 36D. 64 【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得,解得等差数列的公差,故选：A．由等差数列的性质可得,进而可得数列的公差,而,代入化简可得．本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质的应用,属基础题．25.若直线过点,,则此直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线过点,,该直线的斜率为,即,；该直线的倾斜角为．故选：A．利用两点的坐标,求出直线的斜率,从而求出该直线的倾斜角．本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题,是基础题目．26.数列的通项公式,它的前n项和为则A. 9B. 10C. 99D. 100【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用,数列求和的方法,解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题．由题意知,通过,求解即可．【解答】解：数列的通项公式,．解得．故答案为：C．27.设是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】解：设的前3项为,,,则由等差数列的性质可得,,解得,由题意可得,解得或,是递增等差数列,,,故选：B．由等差数列的性质可得,又已知,可得,故条件转化为,,解方程即可求出．本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质,应用了解方程思想,是高考重点考查的内容．28.已知数列的前n项和为,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：当时,,,．当时,由,,两式相减得,,数列是以,3为公比的等比数列,,当时,上式也成立．故选：D．利用当时,,,两式相减得,再利用等比数列的前n项和公式即可得出,时单独考虑．熟练掌握及等比数列的前n项和公式是解题的关键．29.如图,直线、、的斜率分别为、、,则必有A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由图得出三直线倾斜角的关系,再根据正切函数的性质,判断斜率的大小关系．本题考查直线倾斜角和斜率的关系：,研究的方法就是利用正切函数的性质．【解答】解：设直线、、的倾斜角分别为,,由已知为为钝角,,且均为锐角．由于正切函数在上单调递增,且函数值为正,所以,即．当为钝角时,为负,所以．综上,故选：A．30.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由题意和等比数列的求和公式可得,解得,,,解得,即从第4天开始,走的路程少于30里,故选：B．由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案．本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属基础题．31.“”是“直线与直线相互垂直”的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当时,直线的斜率是,直线的斜率是,满足,“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件, 而当得：或．“”是“直线与直线相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．判断充分性只要将“”代入各直线方程,看是否满足,判断必要性看的根是否只有．本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．32.已知等差数列满足,,,则n的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】解：,,又数列为等差数列,,,又,,,．故选C．依题意可求得,结合,,利用等差数列的性质即可求得n的值．本题考查数列的求和,突出等差等差数列的性质,考查观察与利用差等差数列的性质分析解决问题的能力,属于中档题．33.已知等比数列中的各项都是正数,且成等差数列,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等差数列的定义和性质,等比数列的通项公式的应用,求出,是解题的关键,属于中档题．【解答】解：设等比数列的公比为q,各项都是正数,且成等差数列,,即,解得,或舍去．．故选D．34.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,,即,若此数列被2整除后的余数构成一个新数列,则数列的前2021项的和为A. 672B. 673C. 1346D. 2021【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的概念及简单表示法,考查推理与运算能力,属于中档题．由题意可得数列为周期数列,该数列的周期为3,每一周期的和为2,由此可求出答案．【解答】解：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,,此数列被2整除后的余数构成一个新数列,则：1,1,0,1,1,0,1,1,0,,其周期为3,故数列的前2021项的和,故选C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.等差数列,的前n项和分别为,,且,则______ ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用,属于基础题．根据等差数列的前n项和公式进行转化即可．【解答】解：在等差数列中,,,,故答案为．36.已知三个数,1,成等差数列；又三个数,1,成等比数列,则值为______．【答案】【解析】解：三个数,1,成等差数列；又三个数,1,成等比数列,,,,,．故答案为：．由三个数,1,成等差数列；又三个数,1,成等比数列,可得,,即,,由此可求值本题考查等差数列、等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础．37.等比数列共有20项,其中前四项的积是,末四项的积是512,则这个等比数列的各项乘积是______ ．【答案】32【解析】【分析】本题考查等比数列的性质,属基础题．由题意可得,而要求的式子等于,代值计算可得．【解答】解：由题意可得,,两式相乘结合等比数列的性质可得,解得等比数列的各项乘积等于故答案为：3238.若数列满足,则称数列为调和数列。

已知数列为调和数列,且,则___________________【答案】20【解析】【分析】本题主要考查新数列定义,及等差数列的重要性质,属中档题型．利用调和数列及等差数列的求和公式与性质得出即可．【解答】解：由题意知：数列为调和数列,,是等差数列又,,又,,三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39.本小题10分等差数列的前n项和为,且．求的通项公式；求满足不等式的n的值．【答案】解：设数列的公差为d,由,得．由,得,解得,,所以；因为,,所以,由不等式,得,所以,解得,因为,所以n的值为2,3,4．【解析】设数列的公差为d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,可得所求通项公式；运用等差数列的求和公式求得,再由二次不等式的解法,可得所求n的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和不等式的解法,化简运算能力,属于基础题．40.本小题12分已知直线经过点,,直线经过点,．若,求a的值；若,求a的值．【答案】解：设直线的斜率为是,则若,则的斜率．又,则,解得或经检验,当或时,若．当时,此时,,不符合题意当时,的斜率存在,此时,所以由,有,解得或经检验,当或时,．【解析】本题考查直线平行与垂直的应用问题,属于基础题．根据两点的坐标求出直线、的斜率,利用斜率相等求出a的值；分的斜率为0和不为0讨论,当的斜率为0时,由C,D的横坐标相等求a得值；不为0时由两直线的斜率之积为求得a的值．41.本小题12分等比数列中,,．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若,分别为等差数列的第4项和第16项,试求数列的前项和．【答案】解：Ⅰ设的公比为q,由,得：,解得,又,所以；Ⅱ由得,,则,,设的公差为d,则有,解得,则数列的前n项和．【解析】Ⅰ设的公比为q,由等比数列的通项公式,可得公比q,即可得到所求通项公式；Ⅱ运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差和首项,再由等差数列的求和公式,计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式,以及等差数列的求和公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题．42.本小题12分已知数列满足,且．证明：数列是等差数列；设数列,求数列的前n项和．【答案】解：证明：由已知,等式两边除以得,即,又．数列是以1为首项,公差为1的等差数列；．．故数列的前n项和为：,【解析】将等式两边除以,结合等差数列的定义,即可得证；由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式,化简计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和求和公式,以及等比数列的求和公式,考查数列的分组求和,化简运算能力,属于中档题．43.本小题12分已知等差数列和等比数列,且,是和的等比中项．Ⅰ求数列、的通项公式；Ⅱ若,求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由题意知：,,,,,,,,,,,因为所以由减,得,【解析】已知等为差数列、为等比数列,及两个数列的首项,及,由等差数列的性质不难求出的值,进一步求出的通项公式,再根据是和的等比中项,也可求出的值,进一步求出的通项公式．根据的结论易给出数列的通项公式,再利用错位相减法,便可求得．等差数列性质,,n,p,等比数列性质,,n,p,是常用公式,注意应用．44.本小题12分已知数列的前n项和,点在函数的图象上求的通项公式；设数列的前n项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数a 的取值范围．【答案】解：点在函数的图象上,,当时,,得,当时,,符合上式,；由知,则,数列单调递增,．要使不等式对任意正整数n恒成立,只要,,,,即．【解析】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析,突出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于难题．根据题意可得,可得,从而即可求的通项公式；由知,利用裂项法可求,从而可求得,由,可判断数列单调递增,从而可求得a的取值范围．。