zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
42
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
上下限分别倒数
翻褶
Re[ x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
45
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理
终值定理
44
序列
Z变换
收敛域
说明
RxRh 1 RxRh 帕赛瓦定理
几条重要结论： 1、时域作卷积运算，z变换上相乘 2、实部z变换等于 0.5[X (z) X *(z*)] 3、序列在时域计算的能量等于在频域计算的能量
16
17
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
18
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
19
证明：
20
7、初值定理 证明： （怎样证明？）
显然： lim X (z) x(0)
z
21
8、终值定理
证明： （见下页，怎样证明？）
22
证明：
23
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因 子(z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所 以可取z→1的极限。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
8
1、线性 如果
则有：
aX (z) bY(z),
max(Rx , Ry ) z min(Rx , Ry )
序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合。 收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性 组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。
5、共轭序列
6、翻褶序列
7、初值定理
8、终值定理
9、有限项累加特性
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
11、序列相乘
12、帕赛瓦定理
41
序列
Z变换
收敛域
说明
x(n)
X (z) Rx z Rx
h(n)
H (z) Rh z Rh
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
数字信号处理
第二章 z变换（2.4）
主 讲：熊美英 E-mail：wax8301@
九江学院电子工程学院
第二章 z变换
2.1 引言 2.2 z变换的定义及收敛域 2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾：2.3 z反变换
求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
3
1、围线积分法（留数法）
注意：应用第二式计算时，要求 X (z)zn1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
4
2、部分分式展开法
然后各部分查表作z反变换，再相加。
n
k
移位后的序列z变换等于原序列z变换× 收敛域规律？
13
[例2-11] ： 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 解：
14
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
15
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有： 证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
9
[例2-10]：已知 解：
,求其z变换。
10
11
收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组 合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。 参见[例2-11]： （见性质2）
12
2、序列的移位
如果
则有：
证明：根据z变换的定义证明
Z[x(n m)] x(n m)zn zm x(k)zk zm X (z)
6
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。 对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除； 对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
7
2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
不变
实部z变换
j Im[x(n)] 0.5[X (z) X *(z*)]
不变
j倍虚部z变换
43
序列
n
x(m)
m0
x(n) h(n)
x(n)• h(n)
Z变换
z X (z) z 1
收敛域
说明
z max[Rx ,1] 有限项累加特性
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
24
9、有限项累加特性 证明： （见下页）
25
证明：
26
27
10、序列的卷积和（时域卷积和定理）
28
证明：
29
30
[例2-12]： 解： 先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反变换。
31
32
11、序列相乘（z域复卷积定理）
其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛
域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）
33
[例2-13]： 解：见下页。
34
解：
35
36
37
12、帕赛瓦定理
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收 敛域内。 （证明从略）
38
*几点说明：
39
40
回顾：2.4 z变换的基本性质和定理
1、线性
2、序列的移位
3、乘以指数序列（z域尺度变换）
4、序列的线性加权（z域求导数）
x(n) z1[X (z)] z1[ X1(z)] z1[X 2 (z)] ... z1[X K (z)] x1(n) x2 (n) ... xK (n)
5
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
Байду номын сангаас
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r