向量的概念及线性运算编制人：马兰主审人: 朱礼强一、新课引入1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.二、概念建构1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是DC AB =； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 .（2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使=a ba b成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断.（2）利用单位向量与向量相等的概念求解.【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立；对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；对于①，四边形是大前提，当AB DC =时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，所以①正确；对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确.答案：①①.（2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确?【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确?【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线，所以结论正确.(①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μλb ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确.【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚,a ba b 表示何种向量，不知道a a是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度.（2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等.（4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度.（5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：① 若a 为平面内的某个向量，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行，则a=|a|·a 0； ① 若a 与a 0平行且|a|=1，则a= a 0. 假命题的个数是( )A.0B. 1C. 2D. 3【解析】选D .向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|·a 0的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a= -|a|·a 0，故 ①① 也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.【例2】（1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=( ) A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （2）在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若,MN xAB y AC =+则x =________，y =________.【解题导引】（1） 结合图形和三角形法则求解.（2） 结合图形利用向量线性运算的法则求解.【规范解答】（1）选A .()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+111().222AC AB AC AB AD =+=+= （2）由2,AM MC BN NC ==得1,3CM AC =-11(),22CN BC AC AB =-=--所以1111().2326MN CN CM AC AB AC AB AC =-=--+=-所以11,.26x y ==-答案：11.26-， 【规律方法】1. 平面向量的线性运算技巧（1）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路（1） 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.（2） 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式. （3） 比较，观察可知所求.【变式训练】已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且3,2OA OB OP -=则( )A . 点P 在线段AB 上B. 点P 在线段AB 的反向延长线上 C . 点P 在线段AB 的延长线上 D. 点P 不在直线AB 上 【解析】选B .33111(),22222OA OB OP OA OB OA OA OB OA BA -==-=+-=+ 即12OP OA AP BA -==，所以点P 在线段AB 的反向延长线上.【例3】（1）已知向量a 与b 不共线，若λa +b 与a +λb 共线，则λ=________. （2）如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,.3AE AD AB AC ===a b① 用a ，b 表示向量,,,,;AD AE AF BE BF ② 求证：B ，E ，F 三点共线.【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念求解. （2）①利用线性运算几何意义求解.②利用共线向量定理得出. 【规范解答】（1）因为λa +b 与a +λb 共线， 所以存在实数x ，使λa +b =x (a +λb )， 即λa +b =x a +x λb . 因为a 与b 不共线，所以,1,x x λλ=⎧⎨=⎩即λ2=1，所以λ= ± 1. 答案：±1（2）①由已知可得：11()22AD AB AC =+=(a +b )，因为2,3AE AD =所以AE = 23·12(a +b )=13(a +b )，11,22AF AC ==b112(),333BE AE AB =-=+-=-a b a b a 1.2BF AF AB =-=-b aBACDFE②由121,,332BE BF =-=-b a b a 得2,3BE BF =又,BE BF 有公共点B ，故B ，E ，F 三点共线.【规律方法】共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 提醒：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.【变式训练】设e 1与e 2是两个不共线向量，AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为 ( )A .94- B .49- C .38- D .不存在【解析】选A .由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB BD λ=， 又AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD =3e 1-2k e 2，所以BD CD CB =-=3e 1-2k e 2-(k e 1+e 2)=(3-k )e 1-(2k +1)e 2， 所以3e 1+2e 2=λ(3-k )e 1-λ(2k +1)e 2，所以3(3),2(21),k k λλ=-⎧⎨=-+⎩解得k =9.4-四、当堂检测1. 给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是 |a |＝|b | 且 a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是____________________． 答案 ①2. [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |答案 A3. 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC . 若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A. 13a ＋13b B. －13a ＋13bC. 13a －13bD. －13a －13b答案 A4. 在△ABC 中，点M ，N 满足MC AM 2=，NC BN =.若AC y AB x MN +=，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 ，－165. 如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF 等于( ) A.AD AB 3121- B.AD AB 2141+ C.DA AB 2131+D.AD AB 3221- 答案 D6. 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，则λ + μ等于( )A.1B. 12C. 13D. 23答案 D7. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AC AK AD AF AB AE λ===,21,52，则 λ的值为( ) A.29 B.27 C.25 D.23 答案 A8. 设两个非零向量a 与b 不共线.(1) 若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b ). 求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.解 （1）证明 ∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )∴CD BC BD +=＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB ，BD 共线， 又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.（2） 解∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk -1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.五、课堂总结1. 把握向量有关概念的关键点2.平面向量的线性运算技巧3.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路4.共线向量定理的应用六、课后作业1．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 kmD ．向东南走523．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝( C ) A ．7 B ．17 C ．13D ．84．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，则化简AB →＋AC →－AP →－AQ →的结果为( A ) A ．0B ．BP →C ．PQ →D ．PC →5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →6．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B ) A ．0 B ．BE → C ．AD →D ．CF →7．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|，则四边形ABCD 一定为( D ) A ．菱形 B ．任意四边形C ．矩形D ．平行四边形9．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝010．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10]11．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤12．化简下列各式：（1）AB →＋BC →＋CA →＝ ； （2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ ；（3）化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ ． 解析：（1）AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；（2）OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． （3）AC →．13．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__． 14．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ ．解析：OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →．15．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．解析：如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0， 故OA →＋OB →＋OC →＝0．16．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：（1）AB →＋BE →＝AC →＋CE →； （2）EA →＋FB →＋DC →＝0．证明:（1）由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．（2）由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →，∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →)＝0＋0＋0＝0．七、课后反思。