§6.1 向量的概念与线性运算● 课前热身1．下列命题正确的是（ ）A ．若=，则∥B ．若a ∥b ∥c ，则∥cC=a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或2．ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若=，=，0=⋅1=2=，则=A ．b a 3131- B ．b a 3232- C ．b a 5353- D ．b a 5454- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，a b λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+ba λλ4．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则=+μλ ．5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①2=+； ②22+=；③⋅=⋅；④)()(⋅=⋅．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．● 知识梳理 1.平面向量的有关概念 （1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法几何表示：用有向线段表示.字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：.注意：解题时，向量中的箭头不可省． （3）向量的长度：向量的大小就是向量的长度（或称为模），记作||．向量模的计算方法：||a =零向量、单位向量概念：零向量：=⇔=；单位向量=e为单位向量1=⇔e .（4）平行向量定义①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．．. 2.平面向量的线性运算 （1）向量的加法①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则=+（两个．．向量“首尾．．．．．”．相接．．）ABCABDECFAC AD AB =+（两个向量同一起点．．．．．．．．） 注：nn n A A A A A A A A 113221=++-（2）向量减法向量减法三角形法则：连接两个向量的终点，方向指向被减向量.=-（两个向量．．．．同一起点．．．．） （3）实数与向量的积的定义 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：=λλ；当0>λ时，a λ与a 同向；当0<λ时，a λ与a 反向；当0=λ 时，0=a λ．3.向量平行定理 当0≠b 时，a ∥b ⇔有且只有一个实数λ，使b a λ=（0≠b ）.4. 平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ使2211e e aλλ+=.注:(1)不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线(一般会事先给出)； (3)由定理知可将任一向量a 在给定基底1e 、2e 的条件下进行分解且分解形式唯一. ●典例剖析考点1 平面向量的有关概念【例1】下列命题中，真命题的个数是（ ）①向量CD AB //，则直线//AB 直线CD ；②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相相等；③向量AB 即是有向线段AB ；④在平行四边形ABCD 中，一定有DC AB =.0个B ．1个C ．2个D ．3个对应练习下列命题正确的 （ ）A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；D ．有相同起点的两个非零向量不平行 考点2 向量共线【例2】（1）设a 与b 是两个不共线的向量，且向量b a λ+与)2(a b --共线，则=λ ．点评：设21,e e 是平面上两个不共线的向量，21e y e x +=，21e n e m +=，R n m y x ∈,,,，若a ∥b ，则nym x =． （2）已知向量，不共线，k +=（R k ∈），-=，如果//，那么（ ）1=且与同向 B ．1k =且与反向 C ．1k =-且与同向 D ．1k =-且与反向对应练习（1）设向量a ，b 52=，)1,2(=b ，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（2）设21,e e 是平面上两个不共线的向量，已知向量212e k e +=，213e e +=，212e e -=，若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为 ． 考点3 向量的线性运算及几何意义【例3】（1）如图D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．=++B ．=+-C ．=-+D ．=--（2）已知ABC ∆和点M 满足=++，若存在实m 使得m =+成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5CA B点评：若点O 是ABC ∆三角形的重心（三条中线的交点）0=++⇔OC OB OA ． （3）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若a AC =，b BD =，则=AF （ ）A ．2141+B ．3132+C ．4121+D ．3231+（4）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则BCP ∆与ABP ∆的（1）在ABC ∆中，设D 是BC 边上的一点，且满足2=，μλ+=，则μλ+值为A ．32 B ．31C ．1D ．0（2）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（ ）A ．OD AO =B ．OD AO 2=C ．OD AO 3= D．OD AO =2（3）ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若=，=1=2=，则=A ．3231+ B ．3132+ C ．5453+ D ．5354+ （4）P 是ABC ∆内的一点，)(31+=，则ABC ∆面积与ABP ∆的面积之比为（ ）A ．23 B ．2 C ．3 D ．6考点4 平面向量的基本定理【例4】（1）如图1，1e ，2e 互相为垂直单位向量，则向量-可表示为（ ）A ．123e e -B ．2142e e --C ．213e e -D ．213e e -图1图2 （2）如图2所示，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a 、b 满足（ ）A ．0>a ，0>bB ．0>a ，0<bC ．0<a ，0>bD ．0<a ，0<b（3）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2=，λ+=31，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-点评：如图1所示，与是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若A 、B 、P 三点共线，则1=+y x ．推广：①如图2所示，与是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若P 落在区域Ⅰ，则10<=+<y x ；②如图3所示，OA 与OB 是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，ⅣⅢⅡ Ⅰ若P落在区域Ⅱ，则1>=+y x ；②如图4所示，OA 与OB 是不共线的两个向量，P 是平面上一点，且y x +=，若P落在区域Ⅲ，则0<=+y x ．图1 图2 图3 图4 （4）在ABC ∆中，D 为边BC 上任意一点，E 为AD 中点，若AC AB AE μλ+=，则μλ+的值为A ．21B ．31C ．41D ．1（5）若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程x x=++2有解（点O 不在l=x ．对应练习（1）设1e ，2e 是平面内一组基底，且212e e +=，21e e +-=，则向量21e e +可以表示为另一组基底、的线性组合，则=+21e e + ．（2）已知P 为ABC △所在平面上的一点，且t +=31，其中t 为实数，若点P 落在ABC △的内部，则t的取值范围是（ ）A ．410<<t B ．310<<t C ．210<<t D ．320<<t （3）如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若y x +=，则（ ）A ．10<+<y x B ．1>+y x C ．1-<+y x D ．01<+<-y x（4）如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1==DC AD ，3=AB ，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设βα+=，则βα+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,34 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,1。