定理
设向量 a 0 ，则向量 b 平行于 a 的充分
必要条件是：存在唯一的实数 ，使得 b a .
0 注： 一般用 a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
0 则 a | a | a
0 a a |a |
（向量a 的单位化）
向量的加法符合下列运算规律：
2 减法 a b a (b ) d
b
d
b
a
d
b
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算）
设 是一个数，它与向量 a 的乘积 a 是一向量，
规定如下：
(1 ) 0 , (2) 0, (3) 0, | a 与 a 同向， a | | a |
单位向量：模长为1的向量。
记为 0 零向量： 模长为0的向量，
பைடு நூலகம்
其方向是任意的。 ，
自由向量：不考虑起点位置的向量。 相等向量：大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 。 a a
二
向量的线性运算
ab c b
c
1 加法
平行四边形法则 三角形法则
a c a
b
特殊地：若 a‖ b ， 则分为同向和反向 | c | | a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
（1）交换律： a b b a . （2）结合律：a b c ( a b ) c a ( b c ). （3） a ( a ) 0 .
第七章
向量代数与空间解析几何
§7.1 向量的概念与线性运算
一 二 向量的概念 向量的线性运算
一
向量的概念
M
2
向量：既有大小又有方向的量。
向量表示：a 或 M 1 M
2


M1
以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段。
向量的模： 向量的大小，记为 | a | 或 |M 1 M 2| 。
a 0
a 与 a 反向，| a | | | | a |
数乘运算符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( ) a （2）分配律： ( ) a a a (a b ) a b