2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,0,1A a =-，{},,0B a b =，若A B =，则()2021ab 的值为（）A.0B.-1C.1D.1±2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i 2a -+=，则a =（） A.1B.5C.3D.63.某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（） A.6种B.24种C.36种D.72种4.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例15 1.618⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若2has =，则由勾股定理，22as s a =-，即210s sa a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因此可求得S a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形()2856a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（） A.611.6B.692.5C.481.4D.512.45.电影《我和我的家乡》于2020年10月11日在中国内地上映，到2020年10月14日已累计票房22.33亿，创造了多个票房记录，某新闻机构想了解全国人民对《我和我的家乡》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于（） A.100B.160C.200D.2406.若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈，则1tan 1tan αα+=-（） A.1717B.1717-C.1515D.1515-7.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D ，是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=（）A.26B.24C.10D.68.设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（） A.()(),22,-∞⋃+∞ B.()()2,00,2-⋃ C.()(),40,4-∞⋃D.()()2,02,-⋃+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线C 的方程为()2214x y k k k+=∈-R ，则下列结论确的是（） A.当2k =时，曲线C 为圆 B.当2k =-时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =± C.“02k <<”是“曲线C 表示椭圆”的充分不必要条件 D.存在实数k 使得曲线C 210.已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（）A.1ab ≤B.112a b+≤C.lg lg 0a b +≥D.2a b +≤11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图像相邻的两对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结果正确的是（）A.函数()f x 的图像关于直线512x π=对称 B 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22-C.若326f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45- D.要得到函数()f x 的图像，只需要将()2cos2gx x =的图像向右平移6π个单位12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A.三棱锥1P A BD -的体积为定值13B.过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A B C D -截得的多边形的面积为32C.直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为36,33⎢⎣⎦D.当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -3 三、填空题：13.若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则m =_____________. 14.朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”﹒十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f .则21f f =_____________. l5.设向量()11,a x y =，()22,b x y =，记1212a b x xy y ⋅=-，若圆22:480C x y x y +-+=上的任意三点1A ，2A ，3A ，且1223A A A A ⊥，则1223OA OA OA OA ⋅+⋅的最大值是_____________.16.已知函数()()()210e 210x xx f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，则方程()20212020f x =的实根的个数为____________；若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围是______________.17.在()sin sin2B C a A C b ++=，②2221cos cos cos sin sin A B C B C +=++两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.v 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______________. （1）求A ；（2）已知函数()()1cos 4,0,24f x x A x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值.18.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和.19.2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作[)20,40、9：40～10：00记作[)40,60，10：00～10：20记作[)60,80，10：20～10：40记作[)80,100，例如：10点04分，记作时刻64.（Ⅰ）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费。

组距站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2~,Tμσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20～10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）﹒ 附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.20.如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD 为圆柱Ω的轴截面，点E 为圆弧AB 上异于A ，B 的点，点F 为线段ED 上的动点.（1）求证：BE AF ⊥；（2）若2AB =，1AD =，30ABE ∠=︒，且直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为1510，求EF ED的值.21.已知椭圆(222:122x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，22PF =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =AOB △面积的最大值.22.已知函数()()2ln 0f x x x a a =+>，()0,1x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()e ln x f x a x >对()0,1x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围.如东2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.【答案】AC 10.【答案】AD 11.【答案】BD 12.【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.【答案】6 14.【答案】2 15.【答案】64 16.【答案】3；(]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：若选① 则()sin sin2B Ca A Cb ++=∴sin sin2Aa Bb π-=∴sin cos2A aB b =∴sin sin sin cos 2A A B B =∴sin cos 2A A =2sin cos cos 222A A A =∴1sin 22A =，()0,A π∈∴3A π= （2）()12cos 423f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭04A π≤≤，04x π≤≤ 24333x πππ-≤-≤，1cos 4123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()1142f x -≤≤当4x π=时()f x 取最小值14-若选②2221cos cos cos sin sin A B C B C +=++∴22211sin 1sin 1sin sin sin A B C B C +-=-+-+∴222sinsin sin sin sin A B C B C =+-∴222a b c bc =+-又∵2222cos a b c bc A =+-∴1cos 2A =，()0,A π∈，3A π=，下同①. 18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+∴2q=∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212n b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T ∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭-()1111112212222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.19.解（Ⅰ）[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100内的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2 ∴平均数为300.1500.3700.4900.264⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100内分别抽取的车数量为1，3，4，2 在9：20～10：00之间的车辆数为4，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4()464101014C P X C ===，()134********C C P X C ⋅===.()2246410327C C P X C ⋅===，()31464104335C C P X C ⋅===， ()4441014210C P X C ===. ∴X 的分布列如下（Ⅲ）64μ=()()()()222264300.164500.364700.464900.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=()2~64,18T N ∴()()11461006260.68270.95450.818622P T P T μμ<≤=-<≤+=⨯+⨯=∴9：20～10：40之间通过的车辆数为10000.8186818.6⨯=约为818辆. 20.解：（1）证明解：（1）证明：∵AD ⊥平面ABE ，∴AD BE ⊥ 又∵E 为圆弧AB 上的点，∴BE AE⊥，∵AD AE A ⋂=,ADAE ⊂平面ADE ，∴BE ⊥平面ADE ，∵AF ⊂平面ADE ∴BE AF ⊥（2）如图建立空间直角坐标系，设EFEDλ=，∴30ABE ∠=︒，∴1AE =，BE =，DE =∴()0,,F λλ，()0,1,0A，)B，)C()1CA =--，()3,1,0AB =-，()0,1,AF λλ=-设平面ABF 的一个法量()000,,n x y z =∴())00000101,3,100n AB y n y z n AF λλλλ⎧⎛⎫⋅=--=⎪⇒⇒= ⎪⎨⎪-+=⋅=⎪⎪⎝⎭⎩⎩设CA 与平面ABF 所成角为θ，CA 与n 所成角为ϕ∴()()223115sin cos 103154CA n CA nλλθϕλλ-⋅====⋅-⋅+∴13λ=，∴13EF ED =. 21.解：（1）由题意知222b a =∵2b =，∴22a = ∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ()22224848y kx m x kx m x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩ ()222148480k xkmx m +++-=()()()222222644144816820k m k m k m =-+-=-+>△∴12024214x x km x k +==-+，22022441414k m m k m m y k k -++==++∴224,1414km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()()22222161214k m OMk +==+（*）()22222222228228248211k m m m k m m k m AB k k -+-+-+=+⋅⋅==+228222214k k +⋅≤=+ 当且仅当22482km m ++=，即2241m k =+时取“=”将其代入（*）式2216182k k ⇒+=+，218k =，232m =时取“=”②当AB 斜率不存在时不妨设A 在第—象限，∵2OM =，∴62,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎭∴162322AOB S =⋅⋅=<△∴()max 2AOB S =△.22.解：（1）()2ln f x x a '=+当21ea ≤，()0f x '<，()f x 在()0,1上 当211e a <<时，令()ln 02a f x x '=⇒=- 且当ln 02a x <<-时，()0f x '<，()f x ；当ln 12a x -<<时，()0f x '>，()f x（2）2ln e ln x x x a a x +>，()()ln ln ln ln ln ln ln e ln x *e e x a x a x x a x x x x a x x ++++>⇒>= 构造函数()ex x F x =，()2e e 1e e x x x x x x F x --'== 当1x <时，()0F x '>，()F x ；当1x >时，()0F x '<，()F x且()()ln ln F x a F x +>当ln 0x a +≥时，（*）或左边0≥，右边0<，显然成立 当ln 0x a +<时，注意到ln 0x <，故由()F x 在(),0-∞上， 知ln ln x a x +>，ln ln a x x >-，∵ln 1x x -<- ∴1ln 1e a a ≥-⇒≥.。