4
99.987
6
99.99
8
99.998
10
100.012
12
100.032
14
100.057
V/cm3
例3. x R都对应唯一一个数 y sin x,即x与y之间的 对应关系是： y sin x
§ 1.1 函数
函数的定义
设 A 是非空数集。若存在对应关系 f ，对 A 中任意数 x （ x ∈
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
§ 1.1 函数
T/100℃ 0
100
2
99.99
-1
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 ( 1) n n 1 例 2 数列 与 有界. 2 n
例 3 反正切函数 y arctgx 与反余切函数 y arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， 0, x R, 有 arctgx , 2 2 与
f f ( x) f
§ 1.1 函数
三、函数的图象
符号函数:
y 1 o -1 x
1 y sgn x 0 1
狄利克雷函数:
当x 0 当x 0 当x 0
y
1
1 y D( x ) 0
当x是有理数时 当x是无理数时
•
无理数点

o
x
有理数点
§ 1.1 函数
§ 1.1 函数

关于函数概念的几点说名
是 f 在每个 x A 的函数值 f ( x) 。
1、 函数 f 由两个因数完全决定，一个是 f 的定义域 A ；另一个 2、 在函数概念中，对应关系 f 是抽象的，只有在具体函数中， 对应关系 f 才是具体的。 为了对函数 f 有个直观形象的认识，可将 f 比喻为一部“数 值转换器” 。例如：
f =g。
2、 若 A B ，则函数 f 与 g 的和 f + g 、差 f - g 、积 fg 分别定 义为： （ f +g） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ f -g） （ x ）= f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ fg ） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 3、 若 ( A B) x | g ( x) 0 ，则函数 f 与 g 的商 g 定义为 （g） （ x ）= g ( x ) ， x ( A B) x | g ( x) 0。
第一章 函数
1.1 函数 一、函数概念 二、函数的四则运算 三、函数的图象 四、数列 1.2 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 二、反函数 三、初等函数
§ 1.1 函数
函数是整个高等数学中最基本的研究对象，可以说数学 分析就是研究函数的，因此我们对函数的概念以及常见的一 些函数有一个清楚的认识。
0, x R, 有 arc ctgx
§1.2 四类具有特殊性质的函数
arctgx 图 像
1.5 atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
§1.2 四类具有特殊性质的函数
例 4 数列 n有下界无上界;数列 (1) n 既无上
例 1 正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x 在 R 有界（如 图 1.8 与图 1.9） 事实上， 1 0, x R, 有 sin x 1 与 cos x 1 .
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10
20
30
40
50
-0.5
n


界也无下界.
例 5 指数函数 y a x (0 a 1) 在 R 有上界无下界
四、数列
数列的定义:
定义在自然数集 上的函数 f ( x) 称为数列.
n ， 设 f (n) an .因为自然数能够按照大小顺
序排列起来，所以数列的值域 an n 中的数也能够 相应地按照自然数 n 的顺序排列起来，即
a1 , a2 , a3 ,an ,. an 称为数列（1）的第 n 项或通项.
x
f( )
x f(x )
Sin( )
Sin(x)
§ 1.1 函数
3、 根据函数定义， 函数都存在定义域， 但是常常并不明 确指出函数的定义域， 这时认为函数的定义域是自明 的，即定义域是使函数有意义的实数的集合。 4、 函数定义指出： “任意数 x ( x ∈ A )，按照对应关系
f ，对应唯一一个 y ∈ R ” ，这样的对应就是所谓单
值对应。 5、 从现代数学观点来看， 这个函数概念是不严格的， 应 为这里用到了与函数概念等价的“对应关系”或“对 应” 。何谓对应关系或对应尚无定义。
§ 1.1 函数
二、函数的四则运算
设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。 1、 若 A = B ，且 x A ，有 f ( x) g ( x) ，则称 f 与 g 相等，表为：
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f ( x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合 ，则称函数 f ( x) f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） 在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f ( x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
A） ，按照对应关系 f
，对应唯一一个 y ∈ R ，则称 f 是定义在 A
上的函数，表为：
f : A R。
数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，表为 y f ( x) 。 x 称为自变 数， y 称为因变数。数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值的集 合 f ( A) f ( x) | x A 称为函数 f 的值域。