记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
Ll
x
dy x2
ydx y2
(Q x
P y
)dxdy
0
D1
其中l的方向取顺时针方向 于是
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
r2
dq
2
dy ydx
x2 y2
2 0
r2 cos2q r2 sin 2q
一、格林公式
❖单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于
D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 ❖区域的边界曲线的方向
当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域 D内 则行走方向是L的正向
单连通区域
复连通区域
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❖定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)
在D上具有一阶连续偏导数 则有
(Q x
P)dx y
dy
L
Pdx
Qdy
——格林公式
D
其中L是D的取正向的边界曲线 >>>
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括
沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
定理证明
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格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
提示: 在格林公式中 令Py Qx 则有
L ydx xdy 2dxdy
或
A
dx
dy
1 2
L
xdy
ydx
D
D
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格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算区域的面积
设区域D的边界曲线为L 则
A
1 2
L
xdy
ydx
例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A
r2
dq
2
二、平面上曲线积分与路径无关 ❖曲线积分与路径无关 的条件
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数
如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2 等式
L1 PdxQdy L2 PdxQdy
恒成立 就说曲线积分 L PdxQdy 在 G 内
D
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xey2 则 Q P ey2 x y
因此 由格林公式有
提示:
要使 Q P ey2 x y
只需 P0
Q xey2
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格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ey2dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
L
xdy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
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例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0)
解 设L是由椭圆曲线 则
AA11 xxddyyyyddxx 11 22((aabbssinin22qqaabbccooss22qq))ddqq
22 LL
22 00
1 ab 2 dq ab 20
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格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式计算二重积分
例 2 计算 ey2dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
与路径无关 否则说与路径有关
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
❖曲线积分与路径无关
曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
意闭曲线 C 的曲线积分 L Pdx Qdy 等于零
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
则
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
D
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xey2 则 Q P ey2 x y
因此 由格林公式有
ey2dxdy
xey2 dy
D
OA ABBO
xey2 dy 1xex2 dx 1 (1e1)
0
2
OA
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格林公式:
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
D
❖用格林公式求闭曲线积分
例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明
0
是否一定成立？
提示: >>>
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L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
P y
Q x
.
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛 L
物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧
解 这里P2xy Qx2
因为 P Q 2x 所以积分 y x
2xydx x2dy 与路径无关
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
2xydx x2dy 0
L
证 令P2xy Qx2 则
Q x
P y
2x
2x
0
因此 由格林公式有
L2xydx x2dy 0dxdy0 D
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例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
其中 L 为一条无重点、分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
PdxQdy PdxQdy
L1
L2
PdxQdy PdxQdy 0
L1
L2
PdxQdy
L1
L2 PdxQdy 0
L1(L2) PdxQdy 0
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
❖曲线积分与路径无关
曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任 意闭曲线 C 的曲线积分 L Pdx Qdy 等于零
L
Pdx
Qdy
0
P y
Q x
.
❖应用定理2应注意的问题
(1)区域G是单连通区域
(2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
讨论:
设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
❖定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 设函数 P(x y)及 Q(x y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导
数 则曲线积分 L Pdx Qdy 在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意
闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式 P Q y x
在 G 内恒成立 >>>定理证明
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L
Pdx
Qdy与路径无关