y
x2 x sin y C .
B(•x, y)
•
O
•
C(x,0) x
图 11 1
例2. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, )移动到
2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
令
则有
o
L Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
(iii)
是 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q d y (iv) 在 D 内处处成立 P Q .
y x
证明 (i)
(ii)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
B
Pd x Qd y Pd x Qd y L2
L1
L2
A
L1
则 Pdx Qdy 是某个函数u的全微分, 且
( x, y)
u(x, y) Pdx Qdy ( x0 , y0 )
(u的求法)
上述求原函数的过程称为全微分求积(分).
例 求 xdy ydx 的一个原函数, 并计算 x2 y2
( 3,3) xdy ydx (1,1) x2 y2
原函数的另一种求法:
du P dxQdy
则
u P( x, y), u Q( x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以
从而在D内每一点都有
P Q y x
证明 (iv)
(i)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D
由条件(iv), 在 D 上处处成立
P Q y x
利用格林公式 , 得
例5： 已知点O（0,0）及点A（1,1），且曲线积分
(ax cos y y2 sin x)dx (bycosx x2 sin y)dy 与路径无关,
OA
试确定常数a,b ，并计算曲线积分。
全微分求积（全微分方程）
设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D 有连续偏
导数，且
Q P x y
L
Pd
x
Qd
y
(
Q x
P y
)d xd y
0
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
( x, y)
u( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)d y
( x0 , y0 )
具有性质：d u = P dx + Q dy
称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
例1 试应用曲线积分求 (2x sin y)dx ( x cos y)dy 的原函数. 解 这里 P( x , y) 2x sin y , Q( x , y) x cos y , 在整个平面上成立
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y A
L
k
2
o
Bx
例 3 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L
L 为由点O(0, ຫໍສະໝຸດ )到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
(xx , y)
Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x u lim xu lim P(x x, y) P(x , y)
x x0 x x0
同理可证
u y
Q(x
,
y),
因此有
du
P
dx
Qdy
证明 (iii)
(iv)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u ( x, y)
§11.4 平面曲线积分 与路径无关的条件
返回
定理11.2 设D 是单连通域 , 函数
在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 . L
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y L 与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.
P Q cos y . y x 由定理2, 曲线积分
(2x sin y)dx ( x cos y)dy AB
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x, y), 取路线为图11-1中的折
线段 O·CB. 于是有
x
y
u( x , y) 0 2t dt 0 x cos sds
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例4： 计算积分 (1 xe2y )dx (x2 e2y y)dy, 其中C是 C
上半圆周 (x 2)2 y2 4 顺时针方向为正。
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
例 du e2 ydx (1 2xe2 y )dy, 求 u
若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函数的的全微分，
称方程
Pdx Qdy 0 为全微分方程 .
判别法:
Q P x y
求出原函数u(x,y)，则通解为u(x,y) = C
小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
Pdx Qd y
L
1
L
2
(根据条件(i))
所以
Pd x Qd y L2
证明 (ii)
(iii)
在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y) A(x0, y0)
( xx , y)