设有三元非齐次线性方程组
线性方程组解的几何意义
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,,,)1(22221111m m m m
d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.
2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=--=+,423,
32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4
7⎪⎭⎫ ⎝⎛--则方程组(1) 的解有以下三种情况:
1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面.
程所表示的平面交于一点. 例如
其几何意义如图3 -11 所示.
2x-y=-3
3x+2z=-1
x-3y+2z=4
图3-11
交直线所确定.3) 有无穷多组解
这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为
γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.
例如, 设保留方程组为
x + y + z = 3,
则可求得其通解为
.
11110101121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c x
则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1
10111:,0
11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为
为x + y + z = 3 . 如图3-12
图3 -12
向量的直线上. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++,
694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x 情形二这时方程组(1) 的一般解为
γ= c η+ γ0( c 为任意常数).
此时方程组(1) 的所有解在过点γ0且以η为方向例如A 的秩=A 的秩= 2 .
γ= c η+ γ0 为直线的参数方程的向量形式.
则其一般解为
.
021112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c x 过点(-1,2,0) 以向量(-2, 1, 1)T 为方向向量作直线
.1
1221z y x :L =-=-+则由方程组所确定的四个平面必交于直线L .如图3-13
2x +3y +z =43x +8y -2z =13x -2y +4z =-54x -y +9z =-6图3 –1311221z y x :L =-=-+。