A,b
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称之为线性方程组 5.1的
增广矩阵
augmented matrix
齐次方程组的三种不同的表达形式分别为:
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1 a2 2x 2 a2 nx n 0
5.4
am1x1 am2x2 amnxn 0
❖（2）向量 b 能由向量组 1,2, ,n 线性表示；
❖（3）向量组1,2, ,n 与向量组1,2, ,n,b等价。
由方等程 价向组量有组解 的性质,立刻有以下结论: 【 定理向5量 .1】组 1， 非齐2， 次线n与 性方1，程2组， (5.n1， )有b等 解的价充，要条件是 它 的向 系数量矩组 阵1，的2秩， 与增n与广1矩，阵2， 的秩n相，等b有,即相：同的秩
第五 章
线性方程组
linear equations
1
本章主要内容
1. 线性方程组的一般概念; 2.线性方程组有解的充要条件; 3.线性方程组解的结构; 4.用初等变换解线性方程组阵; 5.线性方程组的应用.
2
第一节 线性方程组有解的充要条件
本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解
的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数
3
表示非齐次线性方程组的其他形称式之：为线性
a11
令：
A
a21
a12 a1n
a22
a2n
方程组5.1的 系数矩阵
x
x1
x
2
b1
b
b
2
am1 am2 amn
x
n
b
m
为了便于研究，我们将线性方程组(5.1)表成矩阵形式：
Ax=b
5.2
a11
a12
a1n
若记矩阵A的列向量为:
R A R A b , [1，2， n]与[1，2， n，b]有相同的秩
即： RARA,b
8
【例5.1】判断下列方程组是否有解:
（1）
x1 2x2 3x3 x4 1
（2） 3x1 x2 5x3 3x4 2
2x1 x2 2x3 2x4 3
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
（2）对增广矩阵施初等行变换，
1
BAb, 3
1 3 1 3
1 4
1 4
1 rr 32 r31r10
1 4
3 6
1 7
1
1 1 3 1 1
1 r3r20 4 6 7 1
1 5 9 8 0
0 4 6 7 1
0 0 0 0 0
由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解.
注意(1)说明有矛盾方程，（2）没有矛盾方程
x 1 ξ1 ,2 x ξ2 , ,n x ξn是方程组(5.1)的解
3.
ξ 1
1.
x
ξ
2
是方程组(5.2)的解向量
ξ
n
2.
向量 b由向量组 1, 2, , n 线性表示的系数为：
x1ξ1,x 2ξ2, x 3 ξ3 ,n x ξn
7
非齐次线性方程组解的条件 对于非齐次线性方程组5.1，以下三种提法是等价的： ❖（1）方程组有解；
不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定
不为零。
一般的线性方程组概念：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a2 2x2 a2nxnb2 am1x1 am2x2 amnxn bm
注意：m和n不一 定相等！！！
(5.1)
若b1=b2=…=bm=0,则称方程组5.1为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
1
a21
,2
a22,,n
a2n
注：则5.由1、分5块.21、矩x ,1 5阵.1 23的式, 乘x 是2 法,同2 ,一方n 线程 a性组xxm1 12方(5x .程n 2)又组n ba可的 m2表b 不 成同以表下示5.3形形am式式n:！
x
n
4
a11 a12 a1n b1
【解】
（1）对增广矩阵施行初等行变换，
1 2 3 1 1 r23r1
BAb, 3 1 5 3 2 r32r1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
r3r2
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3
0 5 4 0 1
0 0 0 0 2
由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.
Ax0 5.5
x 11 x 22 x nn 05.6
5
方程组的解 若将 x 1 ξ 1 ,2 x ξ 2 , ,n x ξ n代入方程组后 方程组中的每一个方程都成为恒等式，则称 x1ξ1,x 2ξ2, x 3 ξ 3 ,n x ξ n为方程组的一组解。
因此， 以下三种提法是等价的：
10
141页（习题5- 1） 1）3）
11
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