则AB的列向量组是齐次线性方程组 MX 0 的解向
又 MX 0的基础解系含m个向量
量
而AB的列向量组含m个向量且有 R( AB) R( A) m
所以AB的列向量组线性无关, 即是方程组 MX 0
的基础解系.
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第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2 ,3 表示吗? 1,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
1 2,3,4,5T 2 3 1,2,3,4T 求方程组AX 的通解。
解: R( A) 3 4 AX 0 的基础解系 含一个向量
1
2
3
2


3 2
,2,
5 2
,3
T

0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
设一个基础解系为: 1,2 , ,nr 则通解为: x k11 k22 knrnr (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和 为零，写出ＡＸ＝０的通解． 解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
1 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0
可见 r( A) r( A~) 2 4, 故方程组有无穷多解

x1 x3
x
2
2
x4 1 x4 1
2 2


x1 x2
x2 x2
x3
x4
x4 1
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
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本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构
主要内容: 齐次线性方程组
非齐次线性方程组
Ax 0 解的结构
Ax 解的结构
x1 2x2 2x3 0
2x1 x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的系数矩阵为A,存在
B
bij
0且AB 0,
33
求
解: B 0且AB 0, 则B的列向量组为AX=0的解向量
AX 0有非零解, 即 A 0 1
(1) 如果 1,2满足A1 0, A2 0 则A(1 2 ) A1 A2 0
(2)若 满足A 0, 则对于k R,有A(k ) kA 0
记 Ax = 0 的解集为: N ( A) { x Rn | Amn x 0}
不妨 1,2, ,t是 N(A) 的最大无关组(称为基础解系)
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第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
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§4.2 齐次线性方程组解的结构
1.解向量: 若 满足A 0, 则称是方程组AX 0
的一个解向量.
2.解向量的性质:
1 2 1 5 2 0 0 0 0 0

x1 x3

2x2 x4 4x4 5x5

3x5
-6-

x1 x3

2x2 x4 4x4 5x5

3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3

x2 x3

k1 4k2 5k3
x2 k1 , x4 k2 , x5 k3

x4

k2
x5
k3
2
1
3
说明:

1


0


0

1.基础解系不惟一
x
k1
0 0 Nhomakorabeak2



4 1


k3

-5 0

1 1 1 1 1 0 3 0
当a 0时， 2
3
0
3

r
0
1
2
1
1 0 3 0
0 0 0 0
所以有无穷多解, 其通解：X k 3,2,1T 0,1,0T ,k R
-16-
当a 3时， 1 2
1 3
1 3
1 1
3

r
0
1 1
1 1
1 1
1 3 3 0
0 0 0 3
因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解.
例9. 设1,2,3是四元非齐次线性方程组AX b 的三个
解向量, 且r( A) 3,1 1,2,3,4T ,2 3 0,1,2,3T
而又 (1,1, ,1)T是方程组AX 0的解向量且 0 则通解为： k k(1,1, ,1)T ,k R
-8-
例2 设 r( Amn ) n 1 , 1,2 是 Ax 0 的
两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是
(A) k1 (B) k2 (C) k(1 2 ) (D) k(1 2 )
x3 3x4 8x5 0 2x4 6x5 0
x1 2 x2 x3 5 x4 2 x5 0
1 2 0 1 3 1 2 0 1 3
解: A 1 2
1
3
8

r

0
0
1
4
5 B
2 4 0 2 6 0 0 0 0 0
c R,则线性方程组AX b的通解： C
( A)1,2,3,4T c1,1,1,1T (B)1,2,3,4T c0,1,2,3T
(C )1,2,3,4T c2,3,4,5T (D)1,2,3,4T c3,4,5,6T
-17-
例10 设线性方程组
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
2 x4 1
x4
2 2


x1 x2 x3 x4


1
k1
1 0

0


k2


1 0 2 1


1 2
0
1 2
0

(k1,k2 R). -14-
例7
设 1, 2 是非齐次 Ax = b 的两个不同的解
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证 记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解 因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
-12-
非齐次方程组解的结构定理
设是非齐次方程组Amn X 的一特解解,
则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:
x k11 k22 knrnr (ki R)
例5.
设A
aij
, R( A) 3
64
已知1，2，3是非齐次方程组AX 的三个解向量
设则:由(1),(2)可知
x k11 k22 ktt ( ki 取任意实数)
是方程组AX 0的通解。
-5-
问题:对于给定的方程组如何求其基础解系?
例1 通过下面的例子, 来解决以上问题
x1 2 x2
x4 3x5 0
2xx1124xx22
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§4.3 非齐次线性方程组解的结构
1.解向量: 如果向量 满足Amn
则称为方程组Amn X 的一个解向量
2.性质: Amn X ...... (1)
Amn X 0 ...... (2)
(1) 设 1,2 都是(1)的解,则 x 1 2 是(2)的解.
问题:1. 如果当齐次线性方程组 Ax 0 有无穷多解时, 其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
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§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
例11 设A是m n矩阵，AX 0是非齐次AX b的导出 齐次线性方程组,则下列结论正确的是 D
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解 （B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解