§5.3 多元函数微分法一、复合函数微分法――链式法则模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=，z z u z z z u z x u x x y u y yνννν∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ，x z y z uzf f xxu z f f yy∂∂⎧''=+⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪''=+∂∂⎪⎩ 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z()()x y z duf f y x f z x dx'''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，，u v u v u v w u vf f x x x wu v f f yy y w u vf f zz z ⎧∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪''=+⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂''=+⎪∂∂∂⎩ 还有其他模型可以类似处理。

【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定2xye xy -=和0sin x zxt e dt t -=⎰，求dudx。

解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx'''=++ 由2xye xy -=两边对x 求导，得0xydy dy e y xy x dx dx ⎡⎤⎛⎫+-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭解出 dy ydx x=-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0sin x zxte dt t -=⎰两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭解出 ()()1sin x e x z dzdx x z -=-- 所以 ()()1sin xe x z duf y f fdx x x y x z z⎡⎤-∂∂∂=-+-⎢⎥∂∂-∂⎣⎦ 【98】设1()()z f xy y x y xϕ=++，f ，ϕ具有二阶连续导数，则2________z x y ∂=∂∂。

答案：()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和ϕ均为一元函数。

【05】设函数(,)()()()d x yx yu x y x y x y t t ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ ）（A ）2222u u x y ∂∂=-∂∂；（B ）2222u u x y ∂∂=∂∂；（C ）222u u x y y ∂∂=∂∂∂；（D ）222u ux y x ∂∂=∂∂∂ 答案：B全微分形式不变性例：利用全微分形式不变性求sin uz e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。

【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z z x y ∂∂+=∂∂（1）验证()()0f u f u u'''+=；（2）若(1)0f =，(1)1f '=，求函数()f u 的表达式。

二、隐函数微分法隐函数存在定理1：设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，且00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-。

隐函数存在定理2：设函数(,,)F x y x 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂。

隐函数存在定理3：方程组的情形1. 设()0F x y z ，，＝确定()z z x y =，，则y x z z F F zz x F y F ''∂∂=-=-''∂∂；2. 确定()x x y z =，，则y z x x F F xx y F z F ''∂∂=-=-''∂∂； 3. 确定()y y z x =，，则x z y y F F yy z F x F ''∂∂=-=-''∂∂； 【05】设有三元方程ln 1xzxy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =； （C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =；（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =。

答案：D 【例2】设(),,u f x y z =有连续偏导数，(),z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du 。

解一 令(),,xyzF x y z xe ye ze =--得()1x x F x e '=+，()1yy F y e'=-+，()1z z F z e '=-+则用隐函数求导公式得1111x z y z x z F z x z y e e x F z y z --'∂+∂+=-==-'∂+∂+； 根据模型2.11x zx z x z u z x f f f f e x x z -∂∂+''''=+=+∂∂+11y zy z y z u z y f f f f e y y z -∂∂+''''=+=-∂∂+ ∴ 1111x z y z x z y z u u x y du dx dy f f e dx f f e dy x y z z --∂∂++⎛⎫⎛⎫''''=+=++- ⎪ ⎪∂∂++⎝⎭⎝⎭解二 在xyzxe ye ze -=两边求微分得()()()111x y z x e dx y e dy z e dz +-+=+解出()()()111x y zx e dx y e dy dz z e +-+=+ 代入 x y z du f dx f dy f dz '''=++()()()111x y x y z zx e dx y e dy f dx f dy f z e ⎡⎤+-+'''=++⎢⎥+⎣⎦合并化简也得1111x z y z x z y z x y du f f e dx f f e dy z z --++⎛⎫⎛⎫''''=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【例3】 已知0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()z z x y =，其中()()F u v z x y ，，，均有连续偏导数，求证z z xy z x y∂∂+=∂∂。

证 ()()0x y F u v F G x y z z z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，2211x u y v z u v x y G F G F G F F z zz z ⎛⎫⎛⎫'''''''===-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，　　， 根据隐函数求导公式x u zu v G zF zx G xF yF ''∂=-='''∂+yv zu v G zF z y G xF yF ''∂=-='''∂+ 则得 z z xy z x y∂∂+=∂∂ 【99】设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求d d zx。

提示：方程形式（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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