第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数,且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= (x>0,y>0)[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11.设22(,)xy f x y y x =-,则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12.为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2,这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13.设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂,且(,1)2f x x =+,(,1)1y f x x '=+,则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14.设(,)32f x y x y =+,则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15.为使二元函数222(,)xy f x y x y =+在全平面内连续,则它在(0,0)处应被补充定义为 BA.-1B.0C.1D. 16.已知函数22(,)f x y x y x y +-=-,则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17.若()yf x=(0)x >,则()f x =BB. C.xD. 18.若xz y =,则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19.设2y z x =,则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩,则极限00lim (,)x y f x y →→ ( C ). (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处( A ).(A) 连续,但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在,但不连续 (D) 偏导存在,但不可微23.设()u f r =,而r =,()f r 具有二阶连续导数,则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂( B ).(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的( D ). (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25.函数221z x y =--的极大值点是 ( D ).(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26.设(,)f x y =(2,1)x f '=(B ). (A)14(B) 14- (C) 12(D) 12-27.极限24200lim x y x y x y →→+( B ).(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228.(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在,则(B ). (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =,则z d =( A ). (A).y x x x yxy y d ln d 1+- (B).y x x yx y y d d 1+-(C).y x x x x yy d ln d + (D).y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2( C )(A )y x xy yx 3232ln 2+ (B )y xxy y x 3232ln 2- (C )y x xy y x 3232ln 2+- (D )y x xy y x 22ln 2+31.函数z=22y x 1--的定义域是( D ) (A.) D={(x,y)|x 2+y 2=1}(B.)D={(x,y)|x 2+y 2≥1} (C.) D={(x,y)|x 2+y 2<1}(D.)D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32.设22),(y x xyy x f +=,则下列式中正确的是( C );)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛; )B (),(),(y x f y x y x f =-+;)C ( ),(),(y x f x y f =; )D ( ),(),(y x f y x f =-33.设e cos xz y =,则=∂∂∂yx z2( D ); )A ( e sin x y ; )B ( e e sin xxy +;)C ( e cos xy -; )D ( e sin xy -34.已知22),(y x y x y x f -=-+,则x f ∂∂=∂∂+yf ( C );)A ( y x 22+; )B ( y x -; )C ( y x 22- )D ( y x +.35. 设y xy x z 2232-+=,则=∂∂∂y x z( B )(A )6 (B )3 (C )-2 (D )2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则( B )(A )()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim(B )()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim(C )()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim(D )()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,( B )(A )z z+1 (B )()1-z x z (C )()z x y +1 (D )()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是( D )A. 1 < 22y x + ≤ 4;B. –1 ≤ 22y x + < 4; C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4; D. 1 < 22y x + < 4。
39. ),(y x f 在点),(y x 处的偏导数),(y x f x 和),(y x f y 连续是),(y x f 可微分的( B ) A.充分必要条件; B.充分非必要条件; C.必要非充分条件; D.非充分又非必要条件。
40. 抛物面 22y x z +=上点P 处的切平面平行于平面 032=++-z y x ,则点P 的坐标是( C ) A. )0,21,1(; B. )0,21,1(-; C. )45,21,1(-; D. )45,21,1( 41. 设 2yx ez xy+= ,则yz∂∂︱=)2,1(( B ) A. 1+e ; B. 12+e ; C. 12+e ; D. 12-e 。
42. 设二元函数 2332339z x y x x y =-++- 的极小值点是( A )A.(1,0);B.(1,2);C.(-3,0);D.(-3,2)43. 设()=∂∂=x uxy u 1,1 ,则( B )(A )0 (B )21(C )-1 (D )144. 设()y x f z ,=是由方程)sin(xyz xyz =决定的隐函数,则=∂∂x z ( D ) (A )z x (B )yz yz sin (C )yz yz cos (D )x z-45. 设()=∂∂+=y zx y e z xy 2,12 ,则( B )(A )1+e (B )12+e (C )12+e (D )12-e二、填空题 1.=++∞→→y y x y x)1(lim 22e2. 函数u=ln (222z y x ++)在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 92{1, 2, -2}3. =→→yxy y x )sin(lim 02 2 4. 已知)(xy f z =是可微函数,则=dz dy xy xf dx xy yf )()(''+ 5.24lim)0,0(),(-+→xy xyy x = 46.设r =,则2gradr = 222xi y j zk ++r r r7.曲线1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩处的切线与Y 轴的正向夹角是 3π8.设222ln()r x y z =++,则gradr = 222222222222x y zi j k x y z x y z x y z++++++++r r r 9.函数33x yz x y+=+的间断点是 0x y += 10.函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)-的方向导数是 011. 函数()ln u xyz =的定义域是{}(,,)0,0,00,0,00,0,00,0,0x y z x y z x y z x y z x y z >>>><<<><<<>或或或12.二元函数221arcsin z x y=+的定义域是 2214x y ≤+≤ 13.函数223246u x y y x z =-++在原点沿方向{2,3,1}=l 的方向导数为14.函数ln(ln )z x y =⋅的定义域是{(,)|0,10,01}x y x y x y >><<<或 15.曲面3xe xy z ++=在点(0,1,2)处的法线方程为12201x y z --==16.极限00x y →→= 14-17.若(,)32f x y x y =+,则[,(,)]f xy f x y = 643x y xy ++ 18.设有函数(,,)yu x y z x z =,则(1,2,2)|du = 4dx dz + 19.函数221z x y =--的极大值点是 (0,0)20.设函数23,{u x l y z ==r 则方向导数()1,1,1u l∂=∂21.设函数()22,,zz f xy y x y∂=-=∂可微则122y xf f - 22.曲面222z y x =+上一点(1,-1,3)处的切平面方程为 4230x y z ---= 23. 224y x z +=-在点P (0,1,3)处的切平面方程 2y+z=5 ,法线方程13021x y z --==-- 24、设xyx ez 22+=,则全微分dz= ()[]xdy dx y x e xyx++⋅+22225、设z=y x z y x n ∂∂∂+222),(121则= 222)(2y x xy +- 26、已知=∂∂+∂∂+=-yy x f x y x f y x y x xy f ),(),(,),(2222x y +27. xy xy y x 42lim0+-→→= 14-28. 已知z x y z =ln,则=∂∂x z x z z x z +=∂∂29. 已知xy z sin =,则=dz xydy x xydx y dz cos cos += 三、计算与证明1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求yx z∂∂∂2解:xz ∂∂=y f f ⋅+'2'1 yx z ∂∂∂2='2''22''12''11)(f xyf y x f f ++++2.求平面11043=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点 解:设(x, y, z)是交线上任一点,由已知,距离函数f (x, y, z)=z又设)1()11043(),,,,(22-++-+++=y x zy x z z y x L μλμλ 令:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==-++==+==+==+=)5(01)4(011043)3(0102)2(024)1(02322y x L zy x L z Ly L x L z y x μλλμλμλ(1) 与(2)相比,得:x y 43=, 代入(5), 得:54±=x ;相应的有:53±=y 从而得交线上的两点:)635,53,54(, )685,53,54(--其中:点)635,53,54(到xoy 平面的距离是635点)685,53,54(--到xoy 平面的距离是685比较得:所求点是)635,53,54(3.证明极限4220lim y x xy y x +→→不存在证明:当(x, y)沿着曲线2y =x 趋于(0, 0)时,4220lim y x xy y x +→→=21lim 4440=+→y y y y 当(x, y)沿着曲线22y =x 趋于(0, 0)时,4220lim y x xy y x +→→=5242lim 4440=+→y y y y 所以,极限4220lim y x xy y x +→→不存在4.设z=xf (xy, ye ), 求yx z∂∂∂2解:xz ∂∂=xy f f ⋅+'1 yx z ∂∂∂2=''12''112'2'12f xye yf x f e xf y y +++5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=42sint , 在点M(12-π, 1, 22)处的切线及法平面方程 解:因为't x =1-cost, 't y =sint, 't z =2cos 2t而点M(12-π, 1, 22)所对应的参数为t=2π点M 的切向量T ρ={1, 1, 2}故点M 处的切线方程为22211121-=-=-+z y x π点M 处法平面方程为: x+y+2z=42+π6. 求曲面3=+-xy z e z 在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解:令F(x, y, z)= 3-+-xy z e z则1,,'''-===xz y x e F x F y F故0)0,1,2(,2)0,1,2(,1)0,1,2('''===z y x F F F 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即:x+2y-4=0点(2, 1, 0)处的法线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz 及梯度gradz 解:)cos(y x y xz+=∂∂, )cos()sin(y x y y x y z +++=∂∂ 故:dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dyg radz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y))8. 设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上,而平面π与曲面22y x z +=相切于点M(1, -2, 5), 求a,b 之值解:点M 处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M ={2,-4,-1} 点M 处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面π之方程 由直线l 可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入π得: (5+a)x+4b+ab-2=0解得: a=-5, b=-29.设函数z=f (u, v), 则u, v 具有二阶连续偏导数,其中u=3x+2y, v=y x , 求yx z∂∂∂2解:xz ∂∂='2'113f y f +y x z ∂∂∂2='22''122''223''111)32(6f y f y x y f y x f --+-10.66245(,)(0,0)lim ()x y x y x y →+是否存在?如果存在,等于多少?如果不存在,说明理由。