微积分（经管类复习题）2011.5一、选择题1. 二元函数)3ln(1),(22y x y x f --=的定义域为（ ）.A 222<+y x .B 222≤+y x.C 322<+y x .D 322≤+y x2. 点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(='y x f y 成立，则（ ） .A ),(00y x 是),(y x f 的极值点 .B ),(00y x 是),(y x f 的最小值点 .C ),(00y x 是),(y x f 的最大值点 .D ),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 3. 级数∑∞=1n naq收敛的充分条件是（ ）.A 1>q .B 1=q .C 1<q .D 1<q 4. 计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ，其中区域{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D （ ）.A 1 .B41 .C 21.D 4 5. 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域是（ ）.A []11，- .B [)11，- .C ()11，- .D (]11，- 6.函数),(y x f z =在点),(00y x 处 （ ） A. 可微一定连续 B. 可微一定不连续C. 偏导数存在一定可微D. 偏导数存在一定不可微 7.下列广义积分为收敛的是 （ ） A.⎰∞+edx xxln B. ⎰∞+exx dxln C. ⎰∞+ex x dx2)(ln D. ⎰∞+exx dx ln8. 设D 由,2,1y x y x y ===围成，则Ddxdy ⎰⎰= （ ）A.12 B. 14 C. 1 D.329. 设正项级数∑∞=1n nu收敛， 则在下列级数中，一定收敛的是（ ）A.∑∞=1n n u B. ∑∞=-1)1(n n nu C. ∑∞=11n n u D. ∑∞=+1)21(n n u10. 幂级数∑∞=+1)2(n nnx 的收敛域是 （ ）A. )1,3(--B. ]1,3[--C.]1,3(--D.)1,3[-- 二、填空题（每小题2分，共10分） 1. 设级数∑∞=1n nu收敛，∑∞=1vn n发散，则级数∑∞=+1)(n n nv u（收敛，发散）2. 级数∑∞=1!3n nn （收敛，发散）3. 判断交错级数∑∞=--1121n nn ）（是 （收敛，发散）4. 微分方程0=+xdy ydx ，满足条件1)1(=y 的特解=y5. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为6. 函数)ln(xy x z =在点)2,1(处的偏导数=∂∂xz_____________=∂∂y z ______________7. 函数xy z )1(+=的全微分dz =________________________ 8. 化二重积分为二次积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(，{}03,032,0|),(=-+=+-==y x y x y y x D ________________9. 若级数∑∞=+111n an收敛，则a 的取值范围___________________10. 若幂级数∑∞=1n n nx a收敛，且在3=x 条件收敛，则收敛半径R =__________11.若正项级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-1)2(n nu收敛或发散？__________________12.微分方程0)1()1(22=+++dx y x dy x y ，满足初始条件1|1==x y 的特解 13. 设)(x f 是连续函数,且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ,则=)(x f14. 反常积分dx xx⎰∞+12ln 的值= 15. 交换积分次序ln 1(,)e x dx f x y dy ⎰⎰=16. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时级数收敛 17．微分方程)1(x y y -='满足条件1)0(=y 的特解为___________ 18. 微分方程690y y y '''-+=的通解19. 微分方程0y y y '''++=的通解三、计算题1. 设),(v u f z =有一阶连续偏导，且xy u =，x v sin =，求dz2. 设方程xyz z y x =++222确定一个二元隐函数),(y x f z =，求xz ∂∂ ，y z ∂∂3. 交换二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+212010),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy4. 采用极坐标计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx2211，其中区域D ：)0(222>≤+a a y x5. 讨论正项级数)0()1(1>+∑∞=a n nann 的敛散性6. 判断级数∑∞=+12)1(sin n n na是绝对收敛，还是条件收敛7. 求幂级数∑∞=+12)3(n nnx 的收敛半径和收敛域 8. 求微分方程yxx y dx dy +=满足初始条件2)1(=y 的特解 9. 求微分方程x xe y xy +='1的通解10．计算定积分dx x x 21021-⎰11. 求函数dt e t x f x t ⎰--=20)2()(的最大值和最小值12. 设xyez xyarctan +=，求dz13. 设)(xy f z =，其中f 可微，求yz x z ∂∂∂∂, 14. 计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是以点)0,0(O ,)2,1(A 和)1,2(B 为顶点的三角形区域15. 计算二重积分⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 所围在第一象限中的区域. 16．判别级数∑∞=1!n n nn 的敛散性. 17．判别级数1)1(21+-∑∞=n nn n的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 18. 求微分方程x y x y dx dy tan +=，满足初始条件41π==x y 的特解 19. 求微分方程1=-y e dxdy e x x 的通解 20.求由方程032)32sin(2=+---+z y x z y x 确定),(y x z z =的隐函数的导数。
21.交换积分次序⎰⎰+-122),(x x dy y x f dx22.设级数∑∞=-1)12(n nn n ，判别敛散性。
23.求幂级数∑∞=-+13)3(1n n x nn 的收敛域。
24.求微分方程x xy y =+'的通解。
25.求微分方程20y y y '''+-=满足初始条件(0)0,(0)3y y '==的特解。
四、应用题和证明题1.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）之间的关系有如下的经验公式： 2210283214y x xy y x R ---+=若提供的广告费用为5.1万元，求销售收入最大时的广告策略。
2. 证明：⎰⎰⎰-=110)()()(2dx x f e e dx x f e dy x y y3.设曲线xy e =，过其上一点(1,)M e 的切线为L ，求该曲线、切线L 及y 轴所围的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积. 4.数列{}n u 单调减少,其中)3,2,1(0 =>n u n ,且级数∑∞=-1)1(n n nu 发散,证明级数∑∞=+1)11(n nn u 收敛 5.根据统计数据得到，国民收入Y 、国民储蓄S 和消费I 均是时间t 的函数，且储蓄额S 为国民收入的121，（在时刻t ）,消费额I 为国民收入增长率的32，当0=t 时，国民收入为8亿元，试求国民收入函数（假定在时刻t 的储蓄全部用于消费）6.设v u z arctan =，y x v y x u -=+=,，证明22y x y x y z x z +-=∂∂+∂∂.。