极限存在准则两个重要极限
【教学目的】
1、了解函数和数列的极限存在准则；
2、掌握两个常用的不等式；
3、会用两个重要极限求极限。

【教学内容】
1、夹逼准则；
2、单调有界准则；
3、两个重要极限。

【重点难点】
重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】
从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。

首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。

【授课内容】
引入：考虑下面几个数列的极限
1、1000个0相加，极限等于0。

2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、，其中，，极限不能确定。

对于
2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：
一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证：
取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。

【注意】
利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。

例1 求解：
由夹逼定理得：
【说明】
夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在
【分析】
已知，，求。

首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证：
1、证明极限存在a)
证明有上界，设，则所以对任意的n，有b)
证明单调上升所以存在
2、求极限设，则，解得（舍去）所以=2
二、两个重要极限1、如右图所示，，例3 求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限==1（）（3）解：原极限=；
2、，，；“”型
【说明】
（1）上述三种形式也可统一为模型（2）第二个重要极限解决的对象是型未定式。

例如，例4 求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限===
【补充】
“”型计算公式：其中时，。

证明：例5 求下列极限（1）【分析】
是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式解：====1（2）
【分析】
是幂指函数，“”型，考虑用“”型计算公式。

解：原极限。

（3）
【分析】
是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。

解：原极限== 【思考题1】
设有k个正数，，…，，令={，，…，}，求（“大数优先”准则）。

解：而，所以由夹逼准则：
【思考题2】
设，，求解：显然。

因为，所以数列有下界。

又因为，所以数列单调下降，即存在。

设=，则，解得，所以=
【思考题3】
求；解：原极限=
【思考题4】
求极限解：
【课堂练习】
求。

解：而，所以原极限
【内容小结】
1、夹逼准则当时，有，且=，则。

2、单调有界准则（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。

3、两个重要极限（1）为弧度）；（2），。