§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）导学目标：1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系．（预习教材P 51~ P 53，回答下列问题）情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么?【知识点一】一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.其一般形式可表示为：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<()0a ≠自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( )A ．2220a x x +≥ B ．213x < C ．20x x m -+-≤ D ．32410x x x +-+>【知识点二】一元二次不等式的解法下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答：（1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y <当x 取 时，0y >由上面可知：（2）一元二次不等式2760x x --<的解集为一元二次不等式2760x x --<的解集为有何发现：第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -（3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()200ax bx c ++><的解集的步骤？自我检测2：一元二次不等式220x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠、一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠与其对应的一元二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的关系？（1）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ．（2）一元二次方程()200ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的 ．（3）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ．自我检测3：不等式250ax x c ++>的解集为1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值分别为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6 【知识点四】一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ． （2）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．自我检测4：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围？题型一 一元二次不等式的解法 【例1】求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2560x x -+>的解集． (2)求不等式29610x x -+>的解集． (3)求不等式2230x x -+->的解集．题型二 三个“二次”之间的关系【例2】已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，求关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集．题型三 一元二次不等式恒成立问题【例3-1】要使函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．【例3-2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 4 -1．一元二次不等式2230x x -++<的解集是（ ）A ．{x |x <−1}B ．3{|}2x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x <->或 2．若不等式202mx mx ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．(0,2) 3．求解下列一元二次不等式(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 22320x x -+-<4．一元二次不等式20x px q ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集．【参考答案】情景：设花卉带的宽为()03x x <<，则依题意可得：()()18262862x x -->⨯⨯，整理得2760x x -+>． 【自我检测1】答案：C（1）1x =或6x =； 16x <<；1x <或6x > （2）{}16x x <<；{}16x x x <>或函数位于x 轴上方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式大于0的解集； 函数位于x 轴下方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式小于0的解集； （3）{}1,6函数图像与x 轴交点的横坐标即为该函数所对应的方程的解；解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．第二章一元二次函数、方程和不等式- 6 -【自我检测2】答案：{}02x x<<（1）一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根为21,xx是一元二次函数()20y ax bx c a=++≠图像与x轴交点的横坐标．（2）一元二次方程()200ax bx c a++>≠的解集的端点是一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根21,xx．（3）一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根为21,xx，则acxxabxx=-=+2121,．【自我检测3】答案：B（1）20(0)ax bx c a++>≠恒成立的充要条件是：0a>且240()b ac x-<∈R．（2）20(0)ax bx c a++<≠恒成立的充要条件是：0a<且240()b ac x-<∈R．【自我检测4】答案：{}30k k-<<【例1】答案：（1）{x|x<2，或x>3}；（2）⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫x≠13；（3）∅．ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a<0知c<0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bc x＋ac>0，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x＜13或x＞12．【例3-1】函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，即不等式2(1)0mx mx m ++-<对一切实数x 都成立，于是 ①当0m =时，10-<恒成立；②当0m ≠时，要使其恒成立，则有204(1)0m m m m ∆<⎧⎨=--<⎩，解得0m <. 综上，m 的取值范围为(,0]-∞.【例3-2】解法一：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <−x 2−4对x ∈(1,2)恒成立，即m <−4()x x +对x ∈(1,2)恒成立，令y =4x x +，∵函数y =4x x+在x ∈(1,2)上是减函数，∴4<y <5，∴−5<−4()x x+<−4，∴m ≤−5.解法二：设 f (x )=x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔(1)055(2)04f m m f m ≤≤-⎧⎧⇒⇒≤-⎨⎨≤≤-⎩⎩.1．一元二次不等式−2x 2＋x ＋3<0的解集是（ ）A ．{x |x <−1}B ．3{|}2x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x <->或 答案：D2．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2) 答案：D3．求解下列一元二次不等式(1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.- 8 -。