A．3B．2C． D．
12．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．曲线 在点 处的切线方程为________.
14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为________.
15．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记 ，若 ，在正方形 内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________.
2020届云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（三）数学文科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A． B．2C． D．
16．抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 ________.
三、解答题
17．等差数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 .
18．某企业为提高生产质量，引入了一批新的生产设备，为了解生产情况，随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测，统计得到产品的质量指标值如下表及图（所有产品质量指标值均位于区间 内），若质量指标值大于30，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般.
6．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于 轴对称，则 的一个可能取值是（ ）
A．2B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，若 ， ， ，则输出的数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，定义运算“ ”： ，设函数 ， ，则 的值域为（ ）
2．A
【分析】
对复数 进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.
【详解】
复数 ，
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题考查复数的运算，求复数的模长，属于简单题.
3．C
【分析】
根据 ，得到 ，再根据向量的夹角公式，得到答案.
【详解】
因为 ，
所以
，
所以得到 ，
记向量 与向量 的夹角为 ，
且 ， ，
所以 ，
而
所以 ，
【分析】
根据余弦定理表示出 ，代入已知条件，得到 的值，然后根据三角形面积公式得到答案.
【详解】
由余弦定理 ，
因为 所以有 ，
而 ，
所以得 ，
解得 ，
所以 ，
故选D．
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题.
7．根据关于 轴对称，表示出其对称轴，从而得到 的表达式，根据选项，得到答案.
故选：C．
【点睛】
本题考查向量的计算，通过向量夹角公式求向量的夹角，属于简单题.
4．A
【分析】
将圆的圆心代入直线方程即可.
【详解】
解：因为直线 平分圆 ，
又圆的标准方程为 ，
所以直线经过圆心 ，
所以 ，
故选A．
【点睛】
本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．
5．D
【分析】
根据系统抽样，抽取5人，即分为5组，确定每组人数，根据编号为53的同学被抽到，确定是第几组第几个被抽到即可得出结果.
【详解】
由系统抽样知，第一组同学的编号为1~20，第二组同学的编号为21~40，…，最后一组编号为81~100，编号为53的同学位于第三组，
设第一组被抽到的同学编号为x，
则 ，所以 ，
所以80+13=93号同学被抽到，
故选:D.
【点睛】
本题考查系统抽样，找到第几组第几个被抽到是关键，是基础题.
6．D
3．已知 ， ， ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线 平分圆 ，则 的值为（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
5．从编号1~100的100位同学中用系统抽样的方法随机抽取5位同学了解他们的学习状况，若编号为53的同学被抽到，则下面4位同学的编号被抽到的是（ ）
A．3B．23C．83D．93
（1）求 的标准方程；
（2） 的右顶点为 ，过 右焦点的直线 与 交于不同的两点 ， ，求 面积的最大值.
21．已知函数 的图象在 处的切线斜率为 .
（1）求实数 的值，并讨论 的单调性；
（2）若 ，证明： .
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角），以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ，圆心为 ，直线 与圆 交于 ， 两点.
（1）求圆 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，当 最小时，求 的值.
23．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若存在实数 ，使 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
对集合 和集合 分别进行化简，然后进行交集运算，得到答案.
【详解】
集合 ，
集合 或 ，
所以 ，
故选B．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于简单题.
A． B． C． D．
10．如图，三棱锥 的所有顶点都在球O的表面上，平面 平面 ， ， ， ，则球O的表面积为（）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右顶点分别为 ， ，左焦点为 ， 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 （ 为坐标原点），则 的离心率为（ ）
【详解】
的图象向左平移 个单位长度后
质量指标
频数
2
8
10
30
20
10
合计
80
（1）根据上述图表完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为产品质量高与引人新设备有关；
新旧设备产品质量 列联表
产品质量高
产品质量一般
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
（2）从旧设备生产的质量指标值位于区间 的产品中，按分层抽样抽取6件产品，再从这6件产品中随机选取2件产品进行质量检测，求至少有一件产品质量指标值位于 的概率.
附： ， .
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
19．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是 的中点，在棱 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值，并证明你的结论.
20．已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍，且经过点 .