高三数学(文科)测试试题-----------------------作者：-----------------------日期：★启用前2010年3月襄樊市高中调研统一测试高 三 数 学(文科)命题人：襄樊市教研室 郭仁俊 审定人：襄阳一中 梁 军保康一中 宋克康本试卷共4页，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、、考号填写在答题卷密封线，将考号最后两位填在答题卷右下方座位号，同时把机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

3．将填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域，答在试题卷上无效。

4．考试结束后，请将机读卡和答题卷一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合2{|0}M x x x =-<，{|33}N x x =-<<，则A ．MN φ=B ．MN N =C ．M N N =D ．MN =R2. 圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为A ．22(4)25x y -+=B ．22(4)25x y ++=C ．22(4)25x y +-=D ．22(4)25x y ++= 3. 抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(1，0)B ．(0，116)C ．(0，1)D ．(18，0) 4. 偶函数()f x 在区间[0，a ] (a > 0)上是单调函数，且满足(0)()0f f a ⋅<，则方程()0f x =在区间[－a ，a ]根的个数是A ．0B ．1 C ．2D ．3 5. 某班要从6名同学中选4人参加校运会的4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有A ．24种B ．72种C ．144种D ．360种 6. 以下四个命题中的假命题．．．是A ．“直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”B ．两直线“a ∥b ”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”C ．直线“a ⊥b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”D ．“直线a ∥平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α的一条直线”7. 已知函数()2x f x =的反函数1()f x -满足11()()4f a f b --+=，则11a b+的最小值为 A ．1B ．13C ．12D ．148. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：①()sin cos f x x x =+；②()cos )f x x x =+；③()sin f x x =；④()f x x +其中“互为生成”函数的是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9. 对于R 上的可导的任意函数()f x ，若满足()()0x a f x '-≥，则必有A ．()()f x f a ≥B ．()()f x f a ≤C ．()()f x f a >D ．()()f x f a < 10. 设O 为坐标原点，点M 坐标为(2，1)，若点N (x ，y )满足不等式组：43021201x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥，则使OM ON ⋅取得最大值的点N 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．无数个二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将答案填在答题卷相应位置上。

11. 已知等差数列}{n a 中，若31122a a +=，则7a =▲．12. 若21(1)(1)n n n x -∈>N ，的展开式中4x -的系数为na ，则111a a a +++=▲．13. 函数()sin()(00)f x A x A ωϕω=+>>，示，则=)(x f ▲． 14. 某校高三有1000个学生，高二有12001500人，则全校共抽取了▲人．15. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =．现有如下四个结论：①AC ⊥BE ； ②EF //平面ABCD ；③三棱锥A －BEF 的体积为定值；④异面直线AE 、BF 所成的角为定值．其中正确结论的序号是▲．三．解答题：本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本大题满分12分)已知A 、B 、C 为锐角△ABC 的三个角，向量(22sin cos sin )A A A =-+，m ，(1sin A =+n ，cos sin )A A -，且⊥m n ． (1)求A 的大小；(2)求222sin cos(2)3y B B π=+-取最大值时角B 的大小．17. (本大题满分12分)图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CMD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设2AB x =，BC y =．(1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值围； (2)当x 取何值时，凹槽的强度最大？A B CDA 1B 1C 1D 1E F18.(本大题满分12分)如图，在底面为平行四P 边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA = AB，点E是PD的中点．(1)证明：AC⊥PB；(2)证明：PB∥平面AEC；(3)求二面角E－AC－B的大小．EA BCD19. (本大题满分12分)已知两点,F 1(－2,0)，F 2(2，0)，曲线C 上的动点M 满足1212||||2||MF MF F F +=，直线MF 2与曲线C交于另一点P ．(1)求曲线C 的方程及离心率；(2)设N (－4，0)，若22:3:2MNF PNF S S ∆∆=，求直线MN 的方程．20. (本大题满分13分)对于给定数列{}n c ，如果存在实常数p 、q ，使得1n n c pc q +=+对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{}n c 是“M 类数列”．(1)若2n a n =，数列{}n a 是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数p 、q ，若不是，请说明理由； (2)数列{}n a 满足12a =，*132()n n n a a n ++=⋅∈N ，若数列{}n a 是“M 类数列”，求数列{}n a 的通项公式；(3)记(2)中数列{}n a 的前n 项之和为S n ，求证：1223341444419(3)42n n n S S S S S S S S +++++<≥． 21. (本大题满分14分)对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义()f x ''是函数()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(())x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．现已知32()322g x x x x =-+-，请解答下列问题：(1)求函数()g x 的“拐点”A 的坐标； (2)求证()g x 的图象关于“拐点”A 对称，并写出对于任意三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(不要求证明)； (3)三次函数()f x 的“拐点”为B (0，1)，且一次项系数为0，当121200()x x x x >>≠，时，试比较12()()2f x f x +与12()2x x f +的大小．2010年3月襄樊市高中调研统一测试高三数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：CCBCB BCDAD 二．填空题：11．11 12．12(1)n - 13．2sin4xπ 14．185 15．①②③ 三．解答题16．(1)解：∵m ⊥n ，∴(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0A A A A A A -+++-=2分即22212(1sin )sin cos cos 22A A A A -=-⇒=4分∵△ABC 是锐角三角形，∴3A π=6分(2)解：∵△ABC 是锐角三角形，且3A π=，∴52B ππ<<2212sin cos(2)1cos 2cos 2232y B B B B B π=+-=--+7分)13B π=-+10分当23212B B πππ-=⇒=时，y 取最大值．12分17．(1)解：易知半圆CMD 的半径为x ，故半圆CMD 的弧长为x π∴4(2)2242xx y x y ππ-+++=⇒=4分依题意知：0 < x < y ，∴404x π<<+∴4(2)4(0)24x y x ππ-+=<<+ 6分 (2)解：设凹槽的强度为T，则有2)2x T xy π=-8分24)43x π=-++10分因为440434ππ<<++，∴当443x π=+时，凹槽的强度最大答: 当443x π=+时，凹槽的强度最大． 12分18．(1)证：∵PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD ，∴AC ⊥PA 又AC ⊥AB ，PA ∩AB = A ，∴AC ⊥平面PAB 2分又PB 在平面PAB ，∴AC ⊥PB 4分(2)证：连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点 5分又E 为PD 中点，∴PB ∥EO6分又PB 在平面AEC 外，EO 在AEC 平面，∴PB ∥平面AEC 8分(3)解：过O 作FG ∥AB ，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 中点∵AB ⊥AC ，∴OG ⊥AC 又由(1)(2)知，AC ⊥PB ，EO ∥PB ，∴AC ⊥EO 10分∴∠EOG 是二面角E －AC －B 的平面角连结EF ，在△EFO中，12EF PA =，12FO AB =又PA = AB ，EF ⊥FO ，∴∠EOF = 45°∴∠EOG = 135°，即二面角E －AC －B 的大小为135°．12分 19．(1)解：∵121212||4||||2||84F F MF MF F F =+==>，，∴曲线C 是以F 1、F 2为焦点，长轴长为8的椭圆．2分曲线C 的方程为2211612y x +=，离心率为12． 4分(2)解：显然直线MN 不垂直于x 轴，也不与x 轴重合或平行设直线MN 方程为(4)(0)y k x k =+≠，由2211612(4)y x y k x ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，得：22(34)240k y ky +-= 6分解得y = 0或22443k y k =+∴22443M ky k =+，2211216443M M k x y k k -=-=+ 8分∵22:3:2MNF PNF S S ∆∆=，∴22||3||2MF F P =，则2232MF F P =故32(2)230(0)2M P M P x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴222242431643P P k x k k y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩10分∵点P 在椭圆上，∴22222242163()4()484333k k k k +-+=++整理得：42488210k k +-=，解得：2712k =，从P ABCDEOFG而k =所以直线MN的方程为4)y x =+． 12分20．(1)解：∵2n a n=，∴12n n a a +=+，故数列{}n a 是“M 类数列”，对应的实常数p 、q 的值分别为1、2．2分(2)解：∵数列{}n a 是“M 类数列”， ∴存在实常数p 、q 使得1n n a pa q +=+对于任意n ∈N *都成立，∴21n n a pa q ++=+，故11()2n n n n a a p a a q +++=++4分又*132()n n n a a n ++=⋅∈N ，∴132322n n p q +⋅=⋅⋅+对于任意n ∈N *都成立，即32(2)20n p q ⋅--=对于任意n ∈N *都成立， 6分因此p = 2，q=此时，12n n a a +=，∴2()n n a n N =∈*2()n n a n =∈N 8分(3)证：由(2)知：2(21)n n S =-9分当n ≥3时，011011211121n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C n ---=++++-+++-=+≥，当且仅当n = 3时等号成立，所以221)n S n +≥(11分于是11411111()(3)(21)(23)22123(21)(21)n n n n n S S n n n n ++=<=-++++--≥因为S 1 = 2，S 2 = 6，S 3= 14，则12233414444111111111[()()()]3212799112123n n S S S S S S S S n n +++++<++-+-++-++811119()21272342n =+-<+． 13分21．(1)解：2()362g x x x '=-+，()66g x x ''=-，令660x -=得：x = 1∴拐点A (1，－2)(2)证：设P (x 0，y 0)是()y g x =图象上任意一点，则320000322y x x x =-+- 因P (x 0，y 0)关于点A (1，－2)对称点为100(24)P x y ---，∵323232000000000(2)3(2)2(3)23224(322)x x x x x x x x x ---+--=-+--=---+-04y =--故100(24)P x y ---，在()y g x =图象上∴()y g x =关于点A 对称．结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心；②任何三次函数都有拐点；③任何三次函数都有对称中心．(写出其中之一即可) (3) 证：32()f x ax bx d =++∵()f x 的“拐点”为B (0，1)，∴(0)1f d ==2()32f x ax bx '=+，()62f x ax b ''=+∴(0)200f b b ''==⇒=∴3()1f x ax =+33312121212()()()()2222f x f x x x ax ax x x f a ++++-=-3322332121212121212333()()()248x x x x x x a a x x x x x x +++=+-=-+∴当a > 0时，1212()()()22f x f x x x f ++>，当a < 0时，1212()()()22f x f x x x f ++<14分。