2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，则实数(m = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（4分）在复平面内，与复数1(1i i+是虚数单位）对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）设x R ∈，则“11||22x -<”是“02x <<”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（4分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．20里B ．10里C ．5 里D ．2.5 里5．（4分）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点，则(p =)A ．2B ．10CD ．6．（4分）已知函数2()lnxf x x =，()f x '为()f x 的导函数，则()(f x '= ) A ．3lnxx B ．31x C ．31lnxx - D ．312lnxx - 7．（4分）正方体1111ABCD A B C D -，点E ，F 分别是1BB ，11D B 的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为( ) A ．0B ．15C ．14 D ．138．（4分）曲线12y x =在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．210x y -+=B ．0x y -=C ．20x y +-=D ．210x y --=9．（4分）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线0x +=上，O 为坐标原点，若||||OF PF =且POF ∆的面积为C 的方程为()A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=10．（4分）若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1-，0]B ．[0，1)C ．(1,1)-D ．[1-，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（4分）i 是虚数单位，则2||1ii+-的值为 ． 12．（4分）已知函数22()f x x e =，()f x '为()f x '的导函数，则f '（1）的值为 ． 13．（4分）已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点，则a = ．14．（4分）已知“21[,2],102x x mx ∃∈-+”是假命题，则实数m 的取值范围为 ．15．（4分）设0a >，0b >，21a b -=，则22(4)(1)a b ab++的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-+∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10x y +-=，求a ，b 的值； （Ⅱ）若0a >，求()f x 的单调区间．17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，4BC =，2PA AD CD ===，点E 为PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{}n b 满足121b a =-，445b a a =+，*()n N ∈．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为42．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，AM x ⊥轴，垂足为M ，连结BM 并延长交C 于点N ．求证：点A 在以BN 为直径的圆上． 20．（12分）已知函数()cos sin 1f x x x x =+-． （Ⅰ）若(0,)x π∈，求()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当[0x ∈，]π时，2sin cos x x x x -．2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，则实数(m = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，∴100a b m =-+=，求得实数1m =，故选：C ．2．（4分）在复平面内，与复数1(1i i+是虚数单位）对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：1(2，1)2-，位于第四象限． 故选：D ．3．（4分）设x R ∈，则“11||22x -<”是“02x <<”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：11||22x -<解之得：01x <<，所以“11||22x -<”是“02x <<”的充分不必要条件，故选：A ．4．（4分）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．20里B ．10里C ．5 里D ．2.5 里【解答】解：根据题意，设第一天走1a 里路，由题意得{}n a 是首项为1a ，公比为12的等比数列，则有61161(1)(1)643151112a a q S q--===--， 解可得1160a =， 则5611160532a a q =⨯=⨯=； 故选：C ．5．（4分）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点，则(p =) A ．2B ．10CD．【解答】解：抛物线22(0)y px p =>的准线为2p x =-， 双曲线22143x y -=的2a =，b =c ==，即双曲线的焦点为0)，(，0)，由题意可得2p-=解得p = 故选：D ．6．（4分）已知函数2()lnxf x x =，()f x '为()f x 的导函数，则()(f x '= ) A ．3lnxx B ．31x C ．31lnxx - D ．312lnxx - 【解答】解：根据题意，函数2()lnxf x x=， 其导数22443()()212()lnx x lnx x x x lnx lnxf x x x x '-'--'===；故选：D ．7．（4分）正方体1111ABCD A B C D -，点E ，F 分别是1BB ，11D B 的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为( ) A ．0B ．15C ．14 D ．13【解答】解：如图，分别以直线AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：(1F ，1，2)，(2E ，0，1)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，∴1(1,1,1),(0,2,2)EF DA =-=-，∴111cos ,0||||EF DA EF DA EF DA <>==．故选：A ．8．（4分）曲线12y x =在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．210x y -+=B ．0x y -=C ．20x y +-=D ．210x y --=【解答】解：由12y x =，得12122y x x-'==∴11|2x y ='=， ∴曲线12y x =在点(1,1)处的切线方程为11(1)2y x -=-， 即210x y -+=． 故选：A ．9．（4分）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线20x y +=上，O 为坐标原点，若||||OF PF =且POF ∆的面积为2C 的方程为()A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -= 【解答】解：双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一。