华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试高二年级数学(理科)试题时间：120分钟满分：150分命题人：黄倩审题人：黄进林一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.用秦九韶算法求多项式542()2253f x x x x x =-+++当3x =的值时，02,v =15v =，则2v 的值是 A.2 B.1 C.15 D.172.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为A.15.5B.15.6C.15.7D.163.若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A.10 B.15 C.20 D.304.过(2,1)作圆223x y +=的切线，切点分别为,A B ，且直线AB 过双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 A.2y x =±B.22y x =±C.23417y x =±D.3417y x =±5.给出下列结论：(1)某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862.(2)甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲. (3)若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1.(4)对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30. 则正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.06.已知,x y 是0~1之间的两个均匀随机数，则“,,1x y 能构成钝角三角形三边”的概率为 A.24π- B.44π- C.43π- D.23π-7.已知实数,x y 满足33011101x x y x y y ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤≤⎩，则121y x --的取值范围是A.(－∞，0]∪(1，+∞)B.(－∞，0]∪[1，+∞)C.(－∞，0]∪[2，+∞)D.(－∞，0]∪(2，+∞) 8.在二项式1()2n x x-的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A.第6项B.第5项C.第4项D.第3项9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于,M N 两点， 若21225MNF MF F S S ∆∆=且2121F F N F NF ∠=∠，则椭圆C 的离心率为A.25B.22C.35D.3210.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷三次，则数字之和能被3整除的概率为A.13B.14C.536D.1511.在右侧程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是 A.224 B.336 C.112 D.56012.如右图，已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,P Q 两点，且点A 、B 分别为1212,PF F QF F ∆∆的内心，则||AB 的取值范围是A.[4,+)∞B.[5,6)C.[4,6)D.8[4,3)3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.向正方形随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为____________.14.右图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分 数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________. 15.将1,2,3,,,a b c 排成一排，则字母a 不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是____________. 16.已知圆22()9(5)x a y a -+=>上存在点M ，使||2||OM MQ =(O 为原点)成立，(2,0)Q ，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与性别有关，调研部(共10人)分三组对高中三个年级的学生进行调查，每个年级至少派3个人进行调查.(1)求调研部的甲、乙两人都被派到高一年级进行调查的概率.(2)调研部对三个年级共100人进行了调查，得到如下的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？喜欢吃辣 不喜欢吃辣 合计 男生 10 女生 20 30 合计 100参考数据：18.(本小题满分12分)已知n ∈N *，12323192n nn n n C C C nC +++⋅⋅⋅+=，且2012(32)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求：(1)展开式中各项的二项式系数之和；(2)0246a a a a +++；(3)01||||||n a a a ++⋅⋅⋅+.20()P K k ≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.(本小题满分12分)一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了6组观测数据于下表中，通过散点图可以看出样本点分布在一条指数型函数y =bx ae+的图象的周围.(1)试求出y 关于x 的上述指数型的回归曲线方程(结果保留两位小数)；(2)试用(1)中的回归曲线方程求相应于点(24，17)的残差e ∧.(结果保留两位小数) 温度x (°C) 20 22 24 26 28 30 产卵数y (个) 6 9 17 25 44 88 z =ln y 1.792.202.833.223.784.48几点说明：①结果中的,,a b e ∧∧∧都应按题目要求保留两位小数.但在求a ∧时请将b ∧的值多保留一位即用保留三位小数的结果代入.②计算过程中可能会用到下面的公式：回归直线．．．．方程的斜率b ∧=121()()()niii nii x x zz x x ==---∑∑=1221ini i i ni x z n x zxn x==-⋅⋅-⋅∑∑，截距a z b x ∧∧=-.③下面的参考数据可以直接引用：x =25，y =31.5，z ≈3.05，61i ii x y =∑=5248，61i ii x z=∑≈476.08，6213820i i x ==∑，ln18.17≈2.90.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，左、右焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以21-为半径的圆与以2F 为圆心以2+1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆的标准方程；(2)不过点2F 的直线:l y kx m =+与该椭圆交于,A B 两点，且2BF O ∠与2AF O ∠互补，求AOB ∆面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于,B D 两点，且B 点在D 点上方，A 点与D 点关于x 轴对称.(1)求证：直线AB 过某一定点Q ；(2)当直线l 的斜率为正数时，若以BD 为直径的圆过(3,1)M -，求BDQ ∆的内切圆与ABD ∆的外接圆的半径之比.22.(本小题满分10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 1的极坐标方程为2cos sin ρθθ=，曲线C 2的参数方程是222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(k 为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及曲线C2的普通方程;(2)已知点1(0)2M，，直线l的参数方程为1+2xy t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)，设直线l与曲线C1相交于P，Q两点，求11||||MP MQ+的值.华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试高二年级数学理科试题答案二、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)13.782514.115.2516.57a <≤三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.解：(1)设事件A 为“甲、乙两人都对高一年级进行调查”………………………………………………1分基本事件共有43331063322C C C A A ⋅⋅⋅个 事件A 包含的基本事件有2313286872C C C C A ⋅+⋅⋅个 由古典概型计算公式，得2313286872433310633224()45C C C C A P A C C C A A ⋅+⋅⋅==⋅⋅⋅ ∴甲、乙两人都对高一年级进行调查的概率为445……………………………………………………6分 (2)…………………………………………………………………………………………………………………8分∴22100(40302010)16.66710.82850506040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯………………………………………………………11分∴有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关………………………………………………………12分18.解：∵11!(1,2,,)!()!ii nn n iC i nC i n i n i --=⋅==⋅⋅⋅⋅-∴1230111611123()232n n n n n n n n n n C C C nC n C C C n -----+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅=⨯ ∴6n =………………………………………………………………………………………………………3分法二：设0123023n n n n n n s C C C C nC =++++⋅⋅⋅+则，10(1)0n n n n n s nC n C C -=+-+⋅⋅⋅相加得012()2nn nn n s n C C C n =++⋅⋅⋅=⋅即16232n s n -=⋅=⨯ ∴6n =………………………………………………………………………………………………………3分 (1)展开式中各项的二项式系数之和为6264=…………………………………………………………………6分 (2)令1x =，得0161a a a ++⋅⋅⋅+=①令1x =-，得601265a a a a -+⋅⋅⋅+=②相加得02467813a a a a +++=(或6512+)………………………………………………………………………10分(3)令1x =-得01||||||n a a a ++⋅⋅⋅+=65………………………………………………………………………12分19.解：(1)设z 关于x 的回归直线方程为z b x a ∧∧∧=+∴b ∧=61621()i ii ii x zn x zx x ==-⋅⋅-∑∑≈476.08625 3.0570-⨯⨯保留三位小数：b ∧≈0.265，保留两位小数：b ∧≈0.27………………………………………………………3分 ∴a ∧=z b x ∧-≈3.05－0.265×25≈－3.58……………………………………………………………………5分∴z=lny 关于x 的回归直线方程为ˆz=0.27x －3.58 ∴y 关于x 的指数型的回归曲线方程为ˆy=0.27 3.58x e -………………………………………………………8分 (2)相应于点(24,17)的残差ˆe=y －ˆy =17－0.2724 3.58e ⨯-=17－ 2.90e ≈17－ln18.17e =17－18.17=－1.17………………………………………………………………………12分 20.解：(1)由题2c a a ==∴222,1a b ==，方程为2212x y +=………………………………………………………………………2分(2)2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得222(21)4220k x mkx m +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ∴228(21)0k m ∆=-+>①2121222422,2121mk m x x x x k k -+=-=++…………………………………………………………………………4分由22BF O AF O π∠+∠=得22AF BF k k +=1212011y yx x +=-- ∴1221()(1)()(1)kx m x kx m x +-++-， =12122()()2kx x m k x x m +-+-=2222242()()202121m mk k m k m k k -⋅+-⋅--=++∴2m k =- ②,由①②得2102k <<……………………………………………………………………………………………………7分∴1211||||||22s m x x m =-==………………………………………10分令221(1,2)t k =+∈，则s =43t =时，max s =…………………………………12分 (说明：对于没有解出k 的范围或没有代入判别式检验而直接求出最值的，扣2分) 21.解：(1)设BD ：1(0)x my m =+≠，1122(,),(,)B x y D x y联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消x 得2440y my --=∴21616m ∆=+恒正，12124,4y y m y y +==-∴212112212:()44y y y AB y y x y y +-=--即12124()0x y y y y y ---= 令0y =，得1214y y x ==- ∴定点Q (1,0)-………………………………………………………………………………………………4分 (2)由题MB MD ⋅=1122(3,1)(3,1)x y x y -+⋅-+=2121212()(13)()4016y y m y y y y -++++=∴212410m m --=即得1126m =-或(舍)∴BD ：220x y --=……………………………………………………………………………………………6分 由题，BDQ ∆的内心必在x 轴上，设内心(,0),(11)I t t -<<1222121244BQ AB y y k k y y y y +=====--∴:220BQ x +=由I 到直线BQ 与到直线BD 的距离相等得|22|3t+=，∴t=，内心I∴BDQ∆内切圆半径|22|3r==9分由对称性，ABD∆的外心应在x轴上，设外心(,0)P aBD中垂线方程为2470x y+-=，得7(,0)2P联立22204x yy x--=⎧⎨=⎩得1)B∴BAD∆的外接圆半径R=11分∴rR=分22.解：(1)221:cos sinCρθρθ=，得2x y=…………………………………………………………………1分224:21C yk+=+①，281kxk=+②相除得2(2)xky=+，将其代入②得221164x y+=………………………………………………………………3分又242(2,2]1yk=-+∈-+2C的普通方程为221(2)164x yy+=≠-…………………………………………………………………………5分法二：设tan,,2k n n Zπθθπ=≠+∈，则4sin22cos2xyθθ=⎧⎨=⎩(2,n n Zθππ≠+∈)………………………………3分∴2C的普通方程为221(2)164x yy+=≠-…………………………………………………………………………5分(2)直线l参数方程的标准形式为11+22x my m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(m为参数)代入2x y=得23220m m--=，121222,033m m m m+==-<121212121212||||||1111||||||||||||m m m mMP MQ m m m m m m+-+=+====……………………………………………10分。