知识改变命运
第2章 圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．
1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周
所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴．
2．圆锥面的截线的形状
在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴
所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2
时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．
3．椭圆的定义
平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．
4．双曲线的定义
平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
5．抛物线的定义
平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．
6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．
一、填空题
1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭
⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．
2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．
3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．
①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．
4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________．
5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________．
6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．
7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________．
8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．
二、解答题
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9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心P 的轨迹是椭圆．
10.已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12
sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹．
能力提升
11．如图所示，
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线
C 1
D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)． ①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．
12.
如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．
1．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.
2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．
3．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线．
第2章圆锥曲线与方程
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§2.1 圆锥曲线
知识梳理
3．两个定点F 1，F 2的距离的和 焦点 焦距
4．两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值 焦点 焦距
5．到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点 定点F 定直线l
6．圆锥曲线
作业设计
1．椭圆
解析 由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，
∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，
即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．
2．抛物线
解析 由题意知
(x ＋2)2＋(y －1)2
＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．
3．①
解析
∵∠F 2MP ＝∠GMP ，
且F 2P ⊥MP ，
∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2.
取F 1F 2中点O ，连结OP ，
则OP 为△GF 1F 2的中位线．
∴OP ＝12F 1G ＝12
(F 1M ＋MG) ＝12
(F 1M ＋MF 2)． 又M 在椭圆上，
∴MF 1＋MF 2＝常数，
设常数为2a ，则OP ＝a ，
即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．
4．椭圆
5．椭圆
6．抛物线 解析 由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线．
7．双曲线
8．双曲线的一支
9．证明 设PB ＝r.
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∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，
∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，
即PA ＋PB ＝10(大于AB)．
∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．
10．解 由正弦定理得：
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
. 代入sin B －sin C ＝12
sin A 得：b －c ＝12
a ，即
b －
c ＝1， 即AC －AB ＝1 (<BC)
∴A 的轨迹是以B 、C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．
11．④
解析 ∵D 1C 1⊥面BCC 1B 1，C 1P ⊂平面BCC 1B 1，
∴D 1C 1⊥C 1P ，∴点P 到直线C 1D 1的距离即为C 1P 的长度，由题意知，点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离相等，这恰符合抛物线的定义．
12．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.
MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.
∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
知识改变命运。