圆锥曲线与方程练习题及答案解析
一、选择题 1．(2013•呼和浩特高二检测)椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标为( ) A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5) C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0) 【解析】由c2＝a2－b2求出c 的值．因为169＞25，所以焦点在y轴上．因为c2＝169－25＝144，所以c＝12，所以焦点坐标为(0,12)，(0，－12)．故选C. 【答案】C 2．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0,3)，且椭圆经过点(0,4)，则该椭圆的标准方程是( ) A.x216＋y27＝1 B.y216＋x27＝1 C.x225＋y216＝1 D．y225＋x29＝1 【解析】∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝＋＋－＝8，∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为y216＋x27＝1. 【答案】 B 3．(2013•福州高二检测)已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) A.x24＋y23＝
1(x≠±2) B.y24＋x23＝1(y≠±2) C.x24＋y23＝1(x≠0) D．y24
＋x23＝1(y≠0) 【解析】∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C 不共线)．因此，顶点C的轨迹方程y24＋x23＝1(y≠±2)．【答案】 B 4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 【解析】椭圆方程可化为x22＋y22k＝1，依题意2k>2，∴0<k<1. 【答案】 D 5．已知F1、F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若其中两边之和是10，则第三边的长度为( ) A．6 B．5 C．4
D．3 【解析】根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 【答案】 A 二、填空题 6．以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆的标准方程为______________．【解析】9x2＋5y2＝45可化为y29＋x25
＝1，故焦点为F1(0,2)，F2(0，－2)．设所求椭圆的方程为y2λ
＋4＋x2λ＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．故所求椭圆方程为y212＋x28＝1. 【答
案】y212＋x28＝1 7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P
在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________. 【解析】由题意：a2＝9，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝7. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2. ∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－
|F1F2|22×|PF1||PF2| ＝42＋22－＝－12.
∴∠F1PF2＝120°. 【答案】120° 8．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________. 【解析】椭圆方程可化为x2＋y2－5k＝1，依题意－5k－1＝4，解得k＝－1. 【答案】－1 三、解答题 9．求经过两点P1(13，13)，P2(0，12)的椭圆的标准方程．【解】法一①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝
1(a>b>0)．依题意得＋＝1，－＝1，解得a2＝15，b2＝14. 因为15<14，所以不符合题意，舍去．②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．依题意得＋＝1，－＝1，解得a2＝14，b2＝15. 因为15<14，故所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1. 法二设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．依题意得＋＝1，－＝1，解得A＝5，B＝4，即5x2＋4y2＝1，所以，所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1. 10.如图3－1－1所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. 图3－1－1
(1)求此椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．【解】(1)由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2. 所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. 所以椭圆的方程为x24＋y23＝1. (2)在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|
＝4－|PF1|. 由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－
2|PF1|•|F1F2|•cos 120°，即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，所以|PF1|＝65. 所以S△PF1F2＝12|F1F2|•|PF1|•sin 120° ＝
12×2×65×32＝353.
11．(2013•福州高二检测)如图3－1－2，已知定点A(－2,0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64(F为圆心)上的一点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．图3－1－2
【解】连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心F(2,0)，半径R＝8. ∵线段AB的垂直平分线交BF于点P，∴PA＝PB. ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8＞|AF|＝4. 由定义知点P的轨迹是一椭圆．则依题意有2a＝8，c＝2，∴a＝4，b2＝12. ∴动点P的轨迹方程为x216＋y212＝1.。