向量的加法与减法
综合训练卷（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1 .下列命题中，正确的是（）
C.才二农=卞卩？
D.若方"马且正,则方“三
—■- __^&.
2 .化简以下各式：（1）嵌曲+阪；（2）朋一也+班；（3）OA-DD十疝；」+」
(4) 「“「•」—。
结果为零向量的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.若|< |CD |,且应|二！5,则1曲I的值是（）
A .必小于5
B .必大于10 C.有可能为0 D .不可能为0
4.若屈=3,1乩|=5,则阿的取值范围是（）
A . [3 , 8]
B . （3, 8）C. [3 , 13] D . （3, 13）
5.在平行四边形ABCD中，若卜「讣'：'・-卜,则必有（）
A . ABCD是菱形
B . ABCD是梯形
C . ABCD是正方形
D . ABCD是矩形
6.把所有单位向量的起点平移到同一点P,各向量终
点的集合构成什么图形（A .点P B .过点P的一条直线
C.过点P的一条射线D .以点P为圆心，1为半径的圆
7.下列有关零向量的说法正确的是（）
A .零向量是无长度，无方向的向量B.零向量是无长度，有方向的向量
C.零向量是有长度，无方向的向量 D .零向量是有长度，有方向的向量
8 .已知丽，同丁,则匠一而的取值范围是（）
A . [2 , 12]
B . （2, 12）
C . [2 , 7]
D . （2, 7）
9.“谢昭CA=O”是“ A , B , C是三角形三个顶点的”的（）
A .充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分又不必要条件
10 .已知两个向量鱼，^ ,则下列说法正确的是（）
A .向量可以比较大小
B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小
是共线向量时，可以比较大小
D.当自，11两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小
11.一艘船从A点出发以2・3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流
速为2km/h。
则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）
A .大小为4km/h，方向与流速夹角为60°
B .大小为2.3km/h，方向与流速夹角为60°
C.大小为4km/4，方向垂直于对岸
D .大小为2.3km / h，方向垂直于对岸
____
J
12.
已知向量|
是（）
A .两者必不相等
C.两者可能相等
二、填空题（每题
13.如图5—5，在口ABCD 中，已知肚二卞，叽二b ,则AD = ________________________
AC =
[5 5—5
15.把平行于直线I的所有向量的起点移到I上的点P,则所有向量的终点构成图形
O
三、解答题（共74分）
17.—辆火车向东行驶400km后，改变方向向北行驶400km，求火车行驶的路程及两
次位移之和。
（10分）
18.飞机按东偏北25°从甲地飞行300km到达乙地，再从乙地按北偏西25°飞行400km 到达丙地，求甲丙两地之间的距离。
（12分）
19.一艘船以7km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3km/h。
求航
A为
14 .已知的和向量，且AC
16 .已知a , b是非零向量，则-b a时，应满足条件
,b ,则下列有关吕一b与I乩丨一 | b |的说法正确的
B .廿-u |>R-hl
D.无法比较大小
4分，共16分）
20. 飞机从A 地按北偏西75°的飞向飞行 400km 后到达B 地，然后向C 地飞行。
已 知C 地从A
地西偏南30。
的方向处，且 A , C 两地相距为200.2km ，求飞机从B 地向C 地飞行的方向，及 B ，C 两地的距离。
（12分）
■ °F I
21 .已知O ABC 的外心，H 为垂心，求证：
丨-1「 ：
o （ 14分）
参考答案
1. C
2. D
3. D
4. C
5. D
6. D
7. D
8. A
9. B10. 13
. 七
a
—
-T
,2已 T
« - 6 a + £
14 . 2 * 2
15 .直线l 16 .江与匕’反向
17 .火车两次行驶路程为 800km ，因为位移是向量，则两次位移之和为
400・.2k
方向是东偏北45 ° o
18 . 500km ，甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。
19 .航船实际航速为.58km/h 。
方向与河岸夹角为 arctan 7。
3
20 . B 地飞向C 地方向为东偏南60°,距离为200.2km 。
21. 略
22 .球对斜面压力为40
3N ，对挡板的压力为20
3N
3
3
［解题点拨］
1 .选项D 中：当“ =°时，对任意向量（非零）
已，匚，都有洼//
b /
c 但此时二才与百不一定平行。
22.在倾角为30 °的斜面上有一块坚直放置的挡板,
的光滑圆球，求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
在挡板和斜面之间有一个重为 （14 分）
20N
B11A . 12 . C
图 5—30
由1寸―亡“ 「V 诜，d -，：心「 加1 = 1垃/.I r
2< I AB- CDI < 12
11 •速度是向量，禾U 用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求
解。
与异向进行讨论。
当
mm
以下16题类似求解。
14 •利用向量加、减法的三角形法则求解。
20•准确画出图形后，经分析、计算知：△ ACB 是等腰直角三角形,
3•当 A , B , C , D 四点位置如图5— 29所示时，J
-
>5，排除A 。
D 四点如图5— 30时:
图 5—
29 而I <10 ,排除B 。
假设
=0, 则A 、D 两点重合,
4. •.nU；：当厂,,''- 同向时,
I 环 I =8-5=3 ; 当
AB
AC 不平行时，3<
<13。
结上可知 3W|BC|W 13
=8+5=13 ;,当 /应选C
注意：本题要根据问题的实际作好分类讨论，作到分类不漏不重。
7.零向量是特殊向量，符合向量的定义，零向量的长度为
0,零向量的方向是任意的。
& (1)若
与共线:
①AB 与伽同向时：
— 一 ・■ ■
\ AB- CD\ = \
CD\ -
［与
反向时：丨刖-3丨・丨胭1十［仞1=7 + "12
(2)若
CD 不共线，则由向量的可平移性及向量的三角形法则知：
12•分“
1
共线与不共线”两种情况进行讨论,
共线时又分同向
故IBCI 二 I -ICI =200^2
反向时，
共线且同向时：若
它们的内在联系，由三角形法则可知I H
' +、I ,而H 总是△ ABC 的垂心，说明AH 与
接0B 并延长它交圆于 D 点，由圆的知识可知 DC 与BC 垂直，则'11
与・上 的方向相同。
同时由图可知HC 与AT 的方向相同，四个点A ,H ,D ,c 可以构成平行四边形，右H 与
等是相反向量，
决问题。
本题在分析图形的基础上， 的思想，是向量考查中的一个难点。
22.
本题考查向量加法、 减法在实际物理问题中的运用。
力是一个既有大小又有方向的
量，它是一个向量。
力的分解也就是向量的分解。
已知了重力，即已知了两个向量的和，禾U 用直角三角形求两个向量的大小。
先画出草图，利用平面几何的知识分析直角三角形的内角， 再要求直角三角形中斜边与直角边的关系，
求出两个分力的大小。
高考在考查向量加、 减法
21.由图形可知,
0H 0A
oc 之间不存在表面上的联系，要借助圆来找到
BC 垂直，利用这一关系来寻找与
间的联系。
△ ABC 是圆0的内接三角形，可连
方向相同，大小相等是相等向量，而
DC — 0D ，向量0D 与方向相反，大小相
通过图形的分析，可以找出四个向量之间的联系，可以解 借助向量的方法，解决几何问题， 充分体现了数形结合
的运算中，一般不会直接考查，会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。