向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题 5分，共60分） 1 .下列命题中，正确的是（ ）A.冃& |=＞方=b B . p|＞|纠=77＞心A . 1B . 2C . 3D . 4 3. 若4卜h"'-[1，且I -，则匚的值是（）A .必小于5B .必大于10C .有可能为0D .不可能为0 4.若「，则’ 的取值范围是（）A . [3 , 8]B . （3, 8）C . [3 , 13]D . （3, 13）5.在平行四边形 ABCD中，若 二*九,则必有（）A . ABCD 是菱形B . ABCD 是梯形C . ABCD 是正方形 D . ABCD 是矩形 6. 把所有单位向量的起点平移到同一点 P ,各向量终点的集合构成什 么图形（）A .点PB .过点P 的一条直线C .过点P 的一条射线D .以点P 为圆心，1为半径的圆 7. 下列有关零向量的说法正确的是（ ） A. 零向量是无长度，无方向的向量 B. 零向量是无长度，有方向的向量 C. 零向量是有长度，无方向的向量 D. 零向量是有长度，有方向的向量&已知二 「，：'」U 工；D的取值范围是（ ）A . [2 , 12]B . （2, 12）C . [2 , 7]D . （2, 7）2.化简以下各式：（1）磧庇+氏；（2）牺讥+册~€1） ；（ ）A-0D+ADC a = b => a H bD .若—且-「，则「一（4-"H 。
结果为零向量的个数是（）9 .“」 '一 ” 是“ A , B , C 是三角形三个顶点的”的（ )A 充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分又不必要条件10 .已知两个向量b ，则下列说法正确的是（）A .向量可以比较大小B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小C .当 ',是共线向量时，可以比较大小D •当 ',■■-两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小11. 一艘船从A 点出发以2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶， 同时河水的流速为 2km/h 。
则船实际航行速度大小和方向 （用与流速间的夹 角表示）A .大小为4km/h ，方向与流速夹角为 60°B •大小为2 3km/h ，方向与流速夹角为 60°C .大小为4km/4，方向垂直于对岸D .大小为2 3km/ h ，方向垂直于对岸13. 如图 5— 5,在 ABCD 中，已知二: ：：：，则AD = AC == ______ , = ___________ °图5—5•—--- 丄在---14 .已知.为人与上一的和向量，且.= ，一 ：•则ABAD15. 把平行于直线I 的所有向量的起点移到I 上的点P ,则所有向量的12. 已知向量 口 的说法正确的是（）A .两者必不相等C .两者可能相等*______ 旦.------ -■,b,则下列有关 B — b 与a -b Ia |- |T|B .1 >D .无法比较大小 4分，共16分）终点构成图形________ 。
_j ―—+ V? I16. 已知a , b是非零向量，贝U °一10 J 丨|时，应满足条件__________ 。
三、解答题（共74分）17. —辆火车向东行驶400km后，改变方向向北行驶400km，求火车行驶的路程及两次位移之和。
（10分）18. 飞机按东偏北25°从甲地飞行300km到达乙地，再从乙地按北偏西25°飞行400km到达丙地，求甲丙两地之间的距离。
（12分）19. 一艘船以7km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3km/h。
求航船实际航行速度大小和方向。
（12分）20. 飞机从A地按北偏西75°的飞向飞行400km后到达B地，然后向C地飞行。
已知C地从A地西偏南30°的方向处，且 A , C两地相距为200. 2km，求飞机从B地向C地飞行的方向，及B , C两地的距离。
（12分）21 .已知O ABC的外心，H为垂心，求证：| 一U - - 1o （14分）22•在倾角为30°的斜面上有一块坚直放置的挡板，在挡板和斜面之间有一个重为20N的光滑圆球，求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
（14分）参考答案、1. C2. D3. D4. C5. D6. D7. D8. A9. B10. B11A . 12 . C13 .14 .-15 .直线16 .与：反向17 .火车两次行驶路程为800km ,因为位移是向量，则两次位移之和为40012 km，方向是东偏北4518 . 500km，甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。
——719. 航船实际航速为.58km/h。
方向与河岸夹角为arctan 。
320. B地飞向C地方向为东偏南60°,距离为200.2km。
21. 略22. 球对斜面压力为4^V3N，对挡板的压力为巴灵N3 3［解题点拨］1.选项D中：当'= 时，对任意向量（非零）门，，都有J // , - // 但此时J与不一定平行。
3. 当A , B, C, D四点位置如图5—29所示时，「丨>5，排除A。
・- •"~・• ・ABC D图5—29当A , B , C, D四点如图5—30时：「' <10 ,排除B。
-------------- • ■ • ---------- • ・D A B C图5—30假设3 =0，则A、D两点重合，由「山J W'i 書I恳* 加1 =仙: !ft I - I .•.］小:.4. ・.・柠="-加当匸,-同向时，. =8-5=3 ;当人,"反向时，隊1=8+5=13 ;，当服，AC不平行时，3<肌1<13。
结上可知3< |BC|W 13.应选C注意：本题要根据问题的实际作好分类讨论，作到分类不漏不重。
7.零向量是特殊向量，符合向量的定义，零向量的长度为0,零向量的方向是任意的。
& (1)若口与厂共线：①W与一L同向时：也一亦「:蚀⑷②邓；与】」反向时：I込r.M - I也…"八==(2)若人与厂不共线，则由向量的可平移性及向量的三角形法则知：'■-11 •速度是向量，利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求解。
12.分“ 「与'共线与不共线”两种情况进行讨论，「与'共线时又分同向与异向进行讨论。
当一才与b共线且同向时：若I日》b I,则U - WL 口- I »。
以下16题类似求解。
14. 利用向量加、减法的三角形法则求解。
20.准确画出图形后，经分析、计算知：△ ACB是等腰直角三角形，故廉；二町二F 仏■21. 由图形可知，I与二，一，「厂之间不存在表面上的联系，要借助圆来找到它们的内在联系，由三角形法则可知匕=二+匚，而H总是△ ABC的垂心，说明AH与BC垂直，利用这一关系来寻找与,「厂间的联系。
△ ABC是圆0的内接三角形，可连接0B并延长它交圆于D点,由圆的知识可知DC与BC垂直，则L■一与-=1的方向相冋。
冋时由图可知匚与L的方向相同，四个点A, H , D, C可以构成平行四边形，与-方向相同，大小相等是相等向量, 而山=「厂—方向相反，大小相等是相反向量，=丁 + _。
通过图形的分析，可以找出四个向量之间的联系，可以解决问题。
本题在分析图形的基础上，借助向量的方法，解决几何问题，充分体现了数形结合的思想，是向量考查中的一个难点。
22．本题考查向量加法、减法在实际物理问题中的运用。
力是一个既有大小又有方向的量，它是一个向量。
力的分解也就是向量的分解。
已知了重力，即已知了两个向量的和，利用直角三角形求两个向量的大小。
先画出草图，利用平面几何的知识分析直角三角形的内角，再要求直角三角形中斜边与直角边的关系，求出两个分力的大小。
高考在考查向量加、减法的运算中，一般不会直接考查，会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。
沁园春•雪< 毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采;唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。