例 ： 求 方 程f ( x) x3 11.1x2 38.8 x 41.77 0 的 有 根 区 间 ， 用 二 分 法求 模 最 小 的 实 根 ， 若 要 求 准 确 到103， 则 至 少 要 迭 代 多 少 次？
解：对方 程的 根做 搜索计算 ，结果 如下 ：
x
0123456
f ( x)的符 号
考察二分法构造的点列x(k) 能否收敛到根
x(1) 1 (a b) 2
x(1) x* 1 (b a) 2
x(2)
x*
1 2
1 (b a) 2
1 22
(b a)
x(k)
x*
1 2结
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
f (1) 4 0, f (2) 3 0
正 根x* [1,2]
取中点1 2 1.5,考查f (1.5) ? 2
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
二分法的收敛性分析与误差估计
设方程f ( x) 0，某根为x* [a, b], f (a) f (b) 0
f (x0) f '(x0)
同 理 ， 当f '( x（1）) 0, x(2)
x（1）
f ( x（1）) f '( x（1）)
， 当f '( x（k）) 0, x(k1)
x（k）
f ( x（k）) f '( x（k）)
几何意义
收敛性分析
若点列x(k) x* , 且f '( x) C, f '( x* ) 0
则k 时 ，x*
x*
f (x*) f '(x*)
f ( x* ) 0， 即x*为 根
注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。
x0 x0 x✓0
x*
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每 一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出 区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
非线性方程求根
/ Solutions of Nonlinear Equations /
邹昌文
二分法 / Bisection Method /
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
考 虑 三 次 方 程f ( x) x3 x2 3 x 3 0的 正 根
Taylor展 开 f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 ) O((x x0 )2 )
截断到一阶 令l( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 )
用l( x) 0的根近似代替f ( x) 0的根
当f '( x0 ) 0, x(1)
x0
3个有根区间为[：2,3],[3,4],[5,6]
显然模最小的实根 [2,3]
1 2k
(3
2)
103
2k
103
k
10
牛顿法/ Newton - Raphson Method /
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 / Taylor’s expansion /
考虑方程f ( x) 0 选 择 一 估 计 值 为 起 点x 0