第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。
承受弯曲作用的杆，称之为梁。
本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。
分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。
此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。
如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。
平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此(a ) 简支梁(b) 外伸梁(c) 悬臂梁图9.1 梁的分类纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。
与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。
在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。
下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。
图9.2 平面弯曲梁矩形截面 梯形截面圆形截面 工字形截面槽形截面梁轴线(a )解：1）求固定端约束力。
固定端A 处有三个约束力，但因梁上无x 方向载荷作用，故F A x =0；只有F A y 、M A 如图所示。
列平衡方程有： ∑F y =F A y -F =0 ∑M A (F )=M A -Fl =0得到： F A y =F ； M A =Fl 2）求截面内力。
在距A 为x 处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。
在0≤x <l 内，有平衡方程： ∑F y =F A y -F Q =0 ∑M C (F )=M A +M -F A y x =0得到： F Q =F ； M =-F (l -x )注意，在x =l 的右端B 点，因为梁处于平衡，B 点右边截面之内力均为零。
梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。
3) 画内力图。
在0≤x ≤l 内，剪力F Q ≡F ，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。
弯矩M 随截面位置线性变化；当x =0时，M =-Fl ；x =l 时，M =0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。
此悬臂梁在固定端A 处弯矩值最大。
例9.2 求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。
解：1）求约束力。
注意固定铰A 处F A x =0，故梁AB 受力如图所示。
列平衡方程有：图9.3 例9.1图M F M A F(b)F B y 1 F A (a )(b)∑M A (F )=F B y (2a +b)-Fa -F (a +b)=0∑F y =F A y +F B y -2F =0得到： F A y =F B y =F ；2）求截面内力。
0≤x 1<a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：∑F y =F A y -F Q1=0；⇒ F Q1=F A y =F ；∑M C (F )=M 1-F A y x 1=0 ⇒ M 1=Fx 1 a ≤x 2<a +b ；左段受力如图9.4(c)。
由平衡方程有： F Q2=F A y -F =0M 2=F A y x 2-F (x 2-a )=Fa a +b ≤x 3<2a +b ；左段受力如图9.4(d)。
由平衡方程有： F Q3=F A y -2F =-FM 3=F A y x 3-F (x 3-a )-F (x 3-a -b)=F (2a +b)-Fx 3注意在x =2a +b 的右端B 点，截面之内力（F Q 、M ）必然回至零。
3) 画内力图。
剪力图如图9.4(e)所示。
注意在a ≤x ≤a +b 段内，F Q ≡0。
在0≤x <a 和a +b ≤x <2a +b 二段内，弯矩M 随截面位置x 线性变化；在x =0和x =2a +b 二端，M =0；二集中力作用处，即x =a 和x =a +b 处，有M =Fa ；在a ≤x <a +b 段内，2 F A (c)图9.4 例9.2图FFM ≡Fa ；故弯矩图如图9.4(f)所示。
梁在a ≤x <a +b 段内，只有弯矩，没有剪力，这种情况称为纯弯曲。
例9.3 求图9.5(a )解：1）求约束力。
梁受力如图，列平衡方程有： ∑M A (F )=2aFB sin45︒+Fa +M 0=0⇒ FF B 2-= ∑F y =F A y +F B sin45︒-F =0 ⇒ F A y=2F∑F x =F A x -F B sin45︒=0 ⇒ F A x =-F 2）求截面内力。
0≤x <a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：F N1=0； F Q1=-F ；M 1=-F xa ≤x <2a ；受力如图9.4(c)。
由平衡方程有：F N2=-F A x =F ；F Q2=F A y -F =F ；M 2=F A y (x -a )-Fx =F (x -2a ) 2a ≤x 3<3a ；受力如图9.4(d)。
由平衡方程有：(a )1(b) F N (c)N2 F (d)F N3 F 图9.5 例9.3图F N3=F；F Q3=F；M3= F A y(x-a)-Fx-M0=F(x-3a)3) 画内力图。
轴力图如图9.5(e)所示。
在0≤x<a段内，F N=0。
在a≤x<3a段内，F N≡F。
剪力图如图9.5(f)所示。
在0≤x≤a段内，F Q=-F。
在a≤x<3a段内，F Q≡F。
弯矩图如图9.5(g)所示。
在0≤x<a段内，M=-Fx，是斜率为负的直线。
在a≤x<2a 段内，M=F(x-2a)；即x=a时，M=-Fa，x→2a时，M→0，是图中斜率为正的直线。
在2a≤x<3a段内，M=F(x-3a)；即x=2a时，M=-Fa，x→3a时，M→0，也是斜率为正的直线。
注意求内力时是在梁上有载荷（外载荷和约束反力）作用处分段的，本题各段中的弯矩M随截面位置线性变化，故只要算出各分段控制点（以后简称控制点）的弯矩值后，在各段内用直线连接即可得到如图9.5(g)所示之弯矩图。
值得指出的是，在梁上有载荷(外载荷和约束力)作用而分段之点，有左边和右边内力的差别。
分段点载荷是集中力，则影响剪力(F Q)图；载荷是集中力偶，则影响弯矩(M)图。
例9.4已知q=9kN/m，F=45kN，C处作用的集中力偶M0=48kN•m，求图9.6所示简支梁各截面上的内力。
解：1) 求反力。
梁受力如图9.6(a)所示，列平衡方程有：∑F x=F A x=0∑M A(F )=12F E+M0-8F-2×4q=0∑F y=F A y+F E-F-4q=0 图9.6(a) 例9.4图(a)解得：F A y =49kN ； F E =32kN 2) 求截面内力。
求内力时，应在载荷发生变化处分段研究。
以A 为原点，建立坐标如图9.6(a )。
则应在B 、C 、D 处分段。
AB 段（0≤x 1<4m ）：在任一x 1处将梁截断，取左端研究，受力如图9.6(b) 。
注意到由∑F x =0已给出轴力为零，故截面1上只有剪力和弯矩。
列平衡方程有：∑F y =F A y -q x 1-F Q1=0⇒ F Q1=49-9x 1∑M c (F )=M 1+q x 12/2-Y A x 1=0⇒ M 1=49x 1-4.5x 12注意力矩方程均是以截面形心c 为矩心写出的，如此可直接得到截面弯矩。
BC 段(4≤x 2<6m)：受力如图9.6(c)所示 。
同样有：∑F y =F A y -4q -F Q2=0 ⇒ F Q2=F A y -4q=49kN -9(kN/m)⨯4m=13kN ∑M c (F )=M 2+4q(x 2-2)-F A y x 2=0 ⇒ M 2=13x 2+72(kN •m)图9.6 例9.4图(d)F A(c)F A(e)FE(b)F A 1CD 段（6≤x 3<8m ）：受力如图9.8(d)，有： ∑F y =F A y -4q -F Q3=0 ⇒ F Q3=13kN∑M c (F )=M 3+4q(x 3-2)+M 0-F A y x 3=0 ⇒ M 3=13x 3+24(kN •m) DE 段（8≤x 4<12m ）：受力如图9.6(e)，有： ∑F y =F A y -4q -F Q4-F =0 ⇒ F Q4=-32kN∑ M c (F )=M 4+4q(x 4-2)+M 0+F (x 4-8)-F A y x 4=0 ⇒ M 4=384-32x 4(kN •m) 由截面法求内力时，无论取左右哪一端研究都应得到相同的结果。
如在DE 段截取右端研究，注意截面内力仍按正向假设，受力如图9.6(f)所示，有：∑F y =F Q4+F E =0∑M c (F )=-M 4+F E (12-x 4)=0同样得到：F Q4=-F E =-32kN ；M 4=384-32x 4 (kN •m)值得注意的是，同一截面上的内力，如图9.6(e)与图9.6(f)中的截面4，在物体不同的部分上互为作用力与反作用力，故应有相反的指向（如图中F Q4、M 4）。
前面给出的内力符号规定可使二者有同样的表达。
本例分四段给出了各截面的剪力方程和弯矩方程，依据这些内力方程画出的剪力图和弯矩图，如图9.7所示。
注意观察梁上作用载荷变化处，剪力图、弯矩图的变化。
图9.7 例9.4之内力图F Q M /综上所述，用截面法求内力的一般方法是：§9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图梁整体处于平衡时，截取其中任一部分研究，均应处于平衡。
即在梁中截取任一微段，此微段受力亦应是平衡的。