M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
●内力的求法
A
FRA
a
Fy 0
M
FRA FQ 0 FQ FRA
FQ
MO 0
M FRA a 0 M FRA a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 左下右上为负
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
M
M
向上凸变形为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
M 2 q1.50.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN 1
q =12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
FRA 5ql
FRB 4ql
5ql
FQ x 4ql
4ql
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶
Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
M 0 A
FRB
4ql
qx 0
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
FQ
M
直线段
>0
<0
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0
>0 <0
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
FQ F1 ql F2 sin FRB
M

F1 e
ql e c

l 2
Me
F2 sin f b FRB f
第十五章 梁的弯曲问题
15.1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反
力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加
得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。
线弹性，位移可以叠加
F
F1 O Δ1
F
F
F2 Δ
O Δ2
F1+F2
Δ1
Δ
Δ
O Δ2 Δ
1+2
非线性弹性，位移不可以叠加
F
F1
O
Δ1
F
F2
Δ
O
Δ2
1+2
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
MO 0
FQ 剪力 N或kN M 弯矩 N·m或kN·m
具体作法是：
剪力方程： FQ FQ x 函数图形 弯矩方程： M M x
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
弯矩图。
q
解：(1)求支座反力
A
B
FRA
FRA

FRB

ql 2
x
FRB
l
(2)列出剪力方程和弯矩方程
取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩
表达式分别为:
FR A 15kN FR B 29kN
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 FRA F 15 8 7kN
M1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3 FRB 7kN
F
F1+F2
Δ O
1
Δ Δ2 Δ
叠加原理成立的前提条件： （1）小变形 （2）材料满足虎克定理（线性本构关系）
当变形为微小时，可采用变 形前尺寸进行计算。
弯曲内力
MB
q
MA
1、叠加原理：当梁在各项
A
荷载作用下某一横截面上
的弯矩等于各荷载单独作
用下同一横截面上的弯矩
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
●剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作 用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大 小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用 的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶 的大小，方向为“顺下逆上”。
qa 2 / 2
2qa 2
q
2qa
C
A
B D
a
2a
a
qa
5qa
FQ
2qa
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
15.5 叠加法作剪力图和弯矩图
F
q
A
C
D Me B
a b
l
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 FQ2 FRA F1 F2 0 FQ2 7kN
FQ2 FRA F1 F2
FQ2 FRB
M 0 O
M x FRA x F x l 3 3ql2 4ql x
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 Me 4ql2 4qlx
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
M2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5 0 M2 7kN m
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
FQ2 FRA F1 F2
FQ
F1
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
结论：
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
66
6 12 72
Mmax =121/72qa2
例8 作梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6